(ITA/2014) Considere as funções \mathrm{f}, \mathrm{g}: \mathrm{Z} \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{m}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{bx}+\mathrm{n}, em que \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{m} e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de \mathbf{f} e de \mathbf{g}, respectivamente, então, das afirmações abaixo:
I. Se \mathrm{A}=\mathrm{B}, então \mathrm{a}=\mathrm{b} e \mathrm{m}=\mathrm{n};
II. Se \mathrm{A}=\mathrm{Z}, então \mathrm{a}=1;
III. Se \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{Z}, com \mathrm{a}=\mathrm{b} e \mathrm{m}=-\mathrm{n}, então \mathrm{A}=\mathrm{B}. é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) nenhuma.

Passo 1

O enunciado trata de funções afins definidas em \mathbb{Z},
f(x)=a\,x+m,\quad g(x)=b\,x+n,
com a,b,m,n\in\mathbb{R}. As imagens são
A=\{a\,k+m\mid k\in\mathbb{Z}\},\quad B=\{b\,k+n\mid k\in\mathbb{Z}\}.
Vamos usar a descrição de A e B como progressões aritméticas (cosets de a\mathbb{Z} e b\mathbb{Z}) para testar cada afirmação.

Passo 2

Analisando I: “Se A=B, então a=b e m=n”.
Sejam por exemplo
a=2,\\ m=0,\quad b=-2,\\ n=0.
Então
A=\{2k\mid k\in\mathbb{Z}\}=\{\,\text{números pares}\,\}ú
e
B=\{-2k\mid k\in\mathbb{Z}\}=\{\,\text{números pares}\,\},ú
logo A=B mas a\neq b. Concluímos que I é falsa.

Passo 3

Analisando II: “Se A=\mathbb{Z}, então a=1”.
Temos
A=a\mathbb{Z}+m=\{a\,k+m\mid k\in\mathbb{Z}\}.
Para cobrir todos os inteiros é necessário |a|=1 e m\in\mathbb{Z}. Por exemplo, com
a=-1,\quad m=0,
obtém-se A=\{-k\mid k\in\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}, mas a\neq1. Logo II é falsa.

Passo 4

Analisando III: “Se a,b,m,n\in\mathbb{Z}, com a=b e m=-n, então A=B”.
Aqui
A=a\mathbb{Z}+m,\quad B=a\mathbb{Z}-m.
Essas duas cosets coincidem só se m\equiv -m\pmod{a}, i.e.\ 2m\equiv0\pmod{a}. Por exemplo, com
a=3,\\ m=1,
temos
A=\{3k+1\}\neq\{3k-1\}=B.
Logo III também é falsa.

Resposta

Nenhuma afirmação é verdadeira. Portanto, a opção correta é a (e).

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