(ITA/2014) Considere as funções
,
, em que
e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de
e de
, respectivamente, então, das afirmações abaixo:
I. Se
, então
e
;
II. Se
, então
;
III. Se
, com
e
, então
. é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) nenhuma.
I. Se
II. Se
III. Se
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) nenhuma.
Passo 1
O enunciado trata de funções afins definidas em
,
com
. As imagens são
Vamos usar a descrição de
e
como progressões aritméticas (cosets de
e
) para testar cada afirmação.
Passo 2
Analisando I: “Se
, então
e
”.
Sejam por exemplo
Sejam por exemplo
Então
e
logo
mas
. Concluímos que I é falsa.
Passo 3
Analisando II: “Se
, então
”.
Temos
Temos
Para cobrir todos os inteiros é necessário
e
. Por exemplo, com
obtém-se
, mas
. Logo II é falsa.
Passo 4
Analisando III: “Se
, com
e
, então
”.
Aqui
Aqui
Essas duas cosets coincidem só se
, i.e.\
. Por exemplo, com
temos
Logo III também é falsa.
Resposta
Nenhuma afirmação é verdadeira. Portanto, a opção correta é a (e).