1. (ITA/2005) Considere os conjuntos S=\{0,2,4,6\}, T=\{1,3,5\} e U=\{0,1\} e as afirmações:
    I. \{0\} \in \mathrm{S} e \mathrm{S} \cap \mathrm{U} \neq \varnothing;
    II. \{2\} \subset \mathrm{S} \backslash \mathrm{U} e \mathrm{S} \cap \mathrm{T} \cap \mathrm{U}=\{0,1];
    III. Existe uma função \mathrm{f}: \mathrm{S} \rightarrow \mathrm{T} injetiva;
    IV. Nenhuma função g: T \rightarrow S é sobrejetiva.
Então, é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas IV.
c) apenas I e IV.
d) apenas II e III.
e) apenas III e IV.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos \;S=\{0,2,4,6\},\;T=\{1,3,5\} e \;U=\{0,1\}
e pede para verificar a veracidade das afirmações I–IV, envolvendo noções de pertinência, inclusão, interseção, injeção e sobrejeção.

Passo 2

Analisando I: “ \{0\}\in S e S\cap U\neq\varnothing”.
\{0\}\in S? Os elementos de S são os números 0,2,4,6, não conjuntos, logo \{0\}\notin S.
S\cap U=\{0\}, que de fato é não vazio.
Como a primeira parte é falsa, I é falsa.

Passo 3

Analisando II: “ \{2\}\subset S\setminus U e S\cap T\cap U=\{0,1]”.
S\setminus U=S-\{0,1\}=\{2,4,6\}, então \{2\}\subset\{2,4,6\} é verdadeira.
– Mas S\cap T=\varnothing (pois S são pares e T ímpares), daí S\cap T\cap U=\varnothing, não \{0,1\}.
Logo II é falsa.

Passo 4

Analisando III: “Existe f\colon S\to T injetiva”.
Para haver injeção é necessário \lvert S\rvert\le\lvert T\rvert. Aqui \lvert S\rvert=4 e \lvert T\rvert=3, logo não existe injeção.
Portanto III é falsa.

Passo 5

Analisando IV: “Nenhuma função g\colon T\to S é sobrejetiva”.
Uma função de um conjunto de 3 elementos \lvert T\rvert=3 para um de 4 elementos \lvert S\rvert=4 não pode cobrir todos os 4 elementos: a imagem tem no máximo 3 elementos.
Logo não existe sobrejeção e IV é verdadeira.

Resposta

b) apenas IV.

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