(ITA/2008) Um subconjunto D de \mathbb{R} tal que a função \mathrm{f}: \mathrm{D} \rightarrow \mathbb{R}, definida por \mathrm{f}\{\mathrm{x})=\left|\ln \left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1\right)\right| é injetora, é dado por
a) \mathbb{R}
b) (-\infty, 1]
c) [0,1 / 2]
d) (0,1)
e) [1 / 2, \infty)
Passo 1
O enunciado define a função
f(x) = \bigl|\ln\bigl(x^2 - x + 1\bigr)\bigr|
em todo \mathbb{R} e pede um subconjunto D dentre as opções dadas tal que f\colon D\to\mathbb{R} seja injetora. Vamos estudar a expressão interna \ln\bigl(x^2 - x + 1\bigr) e a ação do valor absoluto para identificar em quais intervalos f é monotônica.
Passo 2
Definindo
g(x) = x^2 - x + 1,
vemos que o discriminante é (-1)^2 - 4\cdot1\cdot1 = -3<0, logo g(x)>0 para todo x. A derivada
g'(x) = 2x - 1
anula-se em x=\tfrac12, mostrando que g é decrescente em (-\infty,\tfrac12] e crescente em [\tfrac12,\infty). O valor mínimo é
x^2 - x + 1 = 1 \;\Longrightarrow\; x(x-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.
Assim:
Para x\in(-\infty,0]\cup[1,\infty), g(x)\ge1 e \ln(g(x))\ge0, portanto
f(x) = \ln\bigl(g(x)\bigr).
Para x\in[0,1], g(x)\le1 e \ln(g(x))\le0, logo
f(x) = -\ln\bigl(g(x)\bigr).
Passo 4
Analisando a monotonicidade de f em cada trecho:
Em (-\infty,0], temos g'(x)<0 e \ln(g(x))\ge0, logo \ln(g(x)) é decrescente e f(x)=\ln(g(x)) é estritamente decrescente.
Em [0,\tfrac12], g'(x)<0 e \ln(g(x))\le0, então -\ln(g(x)) (ou seja f) é estritamente crescente.
Em [\tfrac12,1], g'(x)>0 e \ln(g(x))\le0, portanto -\ln(g(x)) é estritamente decrescente.
Em [1,\infty), g'(x)>0 e \ln(g(x))\ge0, logo \ln(g(x)) (isto é f) é estritamente crescente.
Portanto, f é monotônica somente em cada um desses pedaços isolados, mas não em intervalos que contenham mais de um desses trechos.
Passo 5
Das opções dadas, apenas em
[0,\tfrac12]f é estritamente crescente em todo o intervalo, o que garante injetividade. Nas outras escolhas o gráfico de f muda de sentido (decresce e depois cresce, ou vice-versa), causando valores repetidos.