Determine o valor de m \in \mathbb{R} para que o sist ema linear
\left\{\begin{array}{l} m x+2 y=6 \\\\ 3 x-y=-2 \\\ x+y=0 \end{array}\right.
(a) tenha solução única.
(b) não tenha solução.
(c) tenha infinit as soluções.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com três equações lineares em duas incógnitas x,y\):
\[\begin{cases} m\,x + 2\,y = 6,\\\\ 3\,x - y = -2,\\\ x + y = 0. \end{cases}
Isso é um sistema sobredeterminado. Para estudar existência e unicidade de solução, vamos usar o Teorema de Rouché–Capelli, que diz que:
Há solução se, e somente se, (rank(A)=rank([A|b])].
A solução é única se esse posto for igual ao número de incógnitas (aqui 2).
Passo 2
Vamos calcular o posto da matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} m & 2\\\\ 3 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.