Determine o valor de m \in \mathbb{R} para que o sist ema linear
\left\{\begin{array}{l} m x+2 y=6 \\\\ 3 x-y=-2 \\\ x+y=0 \end{array}\right.
(a) tenha solução única.
(b) não tenha solução.
(c) tenha infinit as soluções.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com três equações lineares em duas incógnitas x,y\): \[\begin{cases} m\,x + 2\,y = 6,\\\\ 3\,x - y = -2,\\\ x + y = 0. \end{cases}
Isso é um sistema sobredeterminado. Para estudar existência e unicidade de solução, vamos usar o Teorema de Rouché–Capelli, que diz que:
  1. Há solução se, e somente se, (rank(A)=rank([A|b])].
  2. A solução é única se esse posto for igual ao número de incógnitas (aqui 2).

Passo 2

Vamos calcular o posto da matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} m & 2\\\\ 3 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
Basta verificar que as duas últimas linhas de A,
(3,\,-1)\quad\text{e}\quad(1,\,1),
são linearmente independentes porque
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =3\cdot1 - (-1)\cdot1 = 4 \neq 0.
Logo \text{rank}(A)=2 para todo m.

Passo 3

Agora consideramos a matriz aumentada
[A|b] = \begin{pmatrix} m & 2 & 6\\\\ 3 & -1 & -2\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\det([A|b]) = \begin{vmatrix} m & 2 & 6\\\\ 3 & -1 & -2\\\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =2m +20.
Pelo Teorema de Rouché–Capelli:
  • Se \det([A|b])=0, então \text{rank}(A)=\text{rank}([A|b])=2 e há exatamente uma solução (posto igual a 2 incógnitas).
  • Se \det([A|b])\neq 0, então \text{rank}([A|b])=3>\text{rank}(A)=2 e o sistema é incompatível (sem solução).

Resposta

(a) Há solução única quando
2m+20=0\quad\Longrightarrow\quad m=-10.
(b) Não há solução quando
2m+20\neq0\quad\Longrightarrow\quad m\neq -10.
(c) Não existe valor de m que torne o sistema com infinitas soluções.

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