Rotacione os eixos coordenados x y por um ângulo \theta=60^{\circ} no plano, no sentido anti-horário, para obter novos eixos coordenados x^{\prime} y^{\prime}. Use os métodos desta seção para encontrar (a) as coordenadas x^{\prime} y^{\prime} do ponto cujas coordenadas x y são (3,2) e (b) as coordenadas x y do ponto cujas coordenadas x^{\prime} y^{\prime} são (4,-4).

Passo 1

O enunciado pede para girar os eixos coordenados xy em \theta=60^\circ no sentido anti-horário, obtendo novos eixos x'y', e então:
(a) dado um ponto com coordenadas (x,y)=(3,2), encontrar (x',y');
(b) dado um ponto com coordenadas (x',y')=(4,-4), encontrar (x,y).
O conteúdo é transformação de coordenadas por rotação de eixos, e precisamos usar as fórmulas de transformação envolvendo \cos\theta e \sin\theta.

Passo 2

Quando giramos os eixos em \theta no sentido anti-horário, as coordenadas de um mesmo ponto satisfazem:
x' = x\cos\theta + y\sin\theta,
y' = -\,x\sin\theta + y\cos\theta.
E a transformação inversa (para voltar de (x',y') a (x,y)) é
x = x'\cos\theta - y'\sin\theta,
y = x'\sin\theta + y'\cos\theta.
Aqui \cos60^\circ = \tfrac12 e \sin60^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}.

Passo 3

(a) Para (x,y)=(3,2),
x' = 3\cdot\tfrac12 + 2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{3}{2} + \sqrt3 = \tfrac{3 + 2\sqrt3}{2},
y' = -\,3\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} + 2\cdot\tfrac12 = -\tfrac{3\sqrt3}{2} + 1 = \tfrac{2 - 3\sqrt3}{2}.

Passo 4

(b) Para (x',y')=(4,-4),
x = 4\cdot\tfrac12 - (-4)\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = 2 + 2\sqrt3,
y = 4\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} + (-4)\cdot\tfrac12 = 2\sqrt3 - 2.

Resposta

(a) \displaystyle x'=\tfrac{3+2\sqrt3}{2},\;y'=\tfrac{2-3\sqrt3}{2}.
(b) \displaystyle x=2+2\sqrt3,\;y=2\sqrt3-2.

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