(S. (Q23-ITA/2009) Seja \mathrm{f}: \mathrm{R} \backslash\{-1\} \rightarrow \mathrm{R} definida por f(x)=\frac{2 x+3}{x+1}.
Mostre que f é injetora.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{2x+3}{x+1}.
O que se pede: mostrar que f é injetora (ou seja, provar que a cada valor de imagem corresponde no máximo um valor de domínio).
Informações relevantes que temos:
  • Domínio: todos os reais exceto x=-1 (pois aí o denominador fica zero).
  • Fórmula explícita da função: f(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}.

Passo 2

Definição de injetora (explicação didática): f é injetora se, sempre que dois pontos do domínio tiverem a mesma imagem, esses pontos são iguais. Em símbolos:
\text{se } f(a)=f(b)\text{ então } a=b,ã
para quaisquer a,b no domínio. Essa é a forma padrão de provar injetividade em exercícios.

Passo 3

Estratégia escolhida (método direto e simples): usar a definição acima. Ou seja, suponho que a,b\in\mathbb{R}\setminus\{-1\} e que
\frac{2a+3}{a+1}=\frac{2b+3}{b+1},
e mostro que isso implica a=b. Repare que posso multiplicar em cruz porque a+1\neq0 e b+1\neq0 (isso vem do domínio).

Passo 4

Fazer a multiplicação em cruz e expandir cuidadosamente. Partindo de
\frac{2a+3}{a+1}=\frac{2b+3}{b+1},
temos, multiplicando em cruz,
(2a+3)(b+1)=(2b+3)(a+1).

Passo 5

Expandir ambos os lados passo a passo:
(2a+3)(b+1)=2ab+2a+3b+3,
(2b+3)(a+1)=2ab+2b+3a+3.
Igualando as duas expansões:
2ab+2a+3b+3 = 2ab+2b+3a+3.

Passo 6

Simplificar subtraindo 2ab+3 de ambos os lados (mostrando cada termo):
(2ab+2a+3b+3)-(2ab+3)=2a+3b,
(2ab+2b+3a+3)-(2ab+3)=2b+3a.
Da igualdade original chegamos, após cancelar 2ab e 3, em
2a+3b = 2b+3a.
Agora reunir termos semelhantes para isolar a e b:
2a+3b -2b -3a = 0 \quad\Rightarrow\quad -a + b = 0.
Isso dá
b-a=0 \quad\Rightarrow\quad a=b.

Passo 7

Conclusão do raciocínio: partindo de f(a)=f(b) mostramos que necessariamente a=b. Pelo critério da definição, isso significa que f é injetora.

Resposta

f é injetora.

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