(S. (Q23-ITA/2009) Seja
definida por
.
Mostre que f é injetora.
Mostre que f é injetora.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede: mostrar que
é injetora (ou seja, provar que a cada valor de imagem corresponde no máximo um valor de domínio).
Informações relevantes que temos:
- Domínio: todos os reais exceto
(pois aí o denominador fica zero). - Fórmula explícita da função:
.
Passo 2
Definição de injetora (explicação didática):
é injetora se, sempre que dois pontos do domínio tiverem a mesma imagem, esses pontos são iguais. Em símbolos:
para quaisquer
no domínio. Essa é a forma padrão de provar injetividade em exercícios.
Passo 3
Estratégia escolhida (método direto e simples): usar a definição acima. Ou seja, suponho que
e que
e mostro que isso implica
. Repare que posso multiplicar em cruz porque
e
(isso vem do domínio).
Passo 4
Fazer a multiplicação em cruz e expandir cuidadosamente. Partindo de
temos, multiplicando em cruz,
Passo 5
Expandir ambos os lados passo a passo:
Igualando as duas expansões:
Passo 6
Simplificar subtraindo
de ambos os lados (mostrando cada termo):
Da igualdade original chegamos, após cancelar
e
, em
Agora reunir termos semelhantes para isolar
e
:
Isso dá
Passo 7
Conclusão do raciocínio: partindo de
mostramos que necessariamente
. Pelo critério da definição, isso significa que
é injetora.