a) Mostre que f é injetora.
b) Determine D=\{f(x) ; x \in R \backslash\{-1\}\} e f^{-1}: D \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{-1\}.
c) Analise se existe alguma função g: R \rightarrow R tal que g(f(x))=x, para todo x \in R \backslash\{-1\}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Mostrar que f é injetora.
  • (b) Determinar D=\{f(x) ; x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\} e achar f^{-1}:D\to\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
  • (c) Analisar se existe alguma função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que g(f(x))=x para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
Informações fornecidas no enunciado:
  • A única informação explícita sobre domínio é que os x considerados são x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
  • O enunciado NÃO fornece a definição explícita da função f (ou seja, a fórmula de f(x) não foi dada).
Conclusão deste passo: sem a fórmula explícita de f não é possível calcular ou demonstrar de forma específica os itens (a) e (b) para a função do enunciado. Abaixo eu explico, passo a passo e didaticamente, como se procede em cada item quando a função é conhecida, e dou um exemplo concreto (compatível com o domínio \mathbb{R}\setminus\{-1\}) para ilustrar todas as etapas.

Passo 2

Como demonstrar injetividade — método geral e regra prática.
Regra geral para provar que uma função f é injetora:
  • Definição: f é injetora se, sempre que f(a)=f(b) (com a,b no domínio), então necessariamente a=b.
  • Procedimento padrão: suponha f(a)=f(b) e manipule algebricamente a igualdade para deduzir a=b. É a forma direta e mais usada nas provas elementares.
  • Outra via (quando aplicável): provar que f é estritamente monotona (crescente ou decrescente) em todo o domínio; se f for estritamente monotona então é injetora. Para isso, muitas vezes usa-se a derivada: se f'(x)>0 para todo x do domínio, então f é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Exemplo concreto (para ver o processo na prática):
  • Considere a função \displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}, cujo domínio natural é \mathbb{R}\setminus\{-1\} (porque não se pode dividir por zero).
  • Provar injetividade:
    Suponha \dfrac{a}{a+1}=\dfrac{b}{b+1} com a,b\neq-1.
    Faça a multiplicação em cruz: a(b+1)=b(a+1).Desenvolvendo: ab+a=ab+b.Subtraindo ab de ambos os lados: a=b.Assim, qualquer par a,b que produza a mesma imagem satisfaz a=b, logo f é injetora.
Comentário didático: esse tipo de manipulação (isolar termos e cancelar fatores comuns) é a técnica típica para funções racionais. Para polinomiais de grau 2 ou mais, a prova direta pode envolver fatoração; para funções definidas por expressões com exponenciais ou logaritmos a prova pode pedir manipulações algébricas específicas ou monotonicidade.

Passo 3

Como determinar a imagem D=f(\mathrm{dom}\,f) e como obter f^{-1} — método geral e exemplo.
Método geral para encontrar D:
  • Escreva y=f(x).
  • Tente resolver a equação y=f(x) para x em termos de y.
  • Observe quais valores de y tornam a solução impossível (por exemplo, causam divisão por zero) ou impossíveis por limites; esses valores y ficam fora da imagem.
  • A imagem D é o conjunto de todos os y para os quais existe pelo menos um x no domínio tal que y=f(x).
Como obter f^{-1}:
  • Se ao resolver y=f(x) você consegue escrever x como uma expressão única em y (isto é, x=\varphi(y)), então \varphi é f^{-1} definida em D.
  • Verificar: compor f^{-1} com f deve dar identidade no domínio original: f^{-1}(f(x))=x para todo x do domínio.
Aplicando ao exemplo \displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}:
  • Começo por escrever y=\dfrac{x}{x+1}.
  • Multiplico: y(x+1)=x.
  • Desenvolvo: yx+y=x.
  • Reúnem-se os termos em x: yx - x = -y ou x(y-1)=-y.
  • Isolando x: x=\frac{-y}{y-1}=\frac{y}{1-y}.Note que, nesse cálculo, foi necessário dividir por y-1, então a operação é válida só quando y\neq 1. Isso mostra que y=1 não está na imagem.
  • Conclui-se que a imagem é D=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • O inverso, como função f^{-1}:D\to\mathbb{R}\setminus\{-1\}, é f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y},\qquad y\in\mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Verificação rápida: substituir y=f(x)=\dfrac{x}{x+1} em f^{-1} f^{-1}\big(f(x)\big)=\frac{\dfrac{x}{x+1}}{1-\dfrac{x}{x+1}}=\frac{\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}}=x,confirmando que obtivemos de fato o inverso adequado. Também é fácil ver que f^{-1}(y)\neq-1 para y\neq1 (não gera conflito com o domínio original).
Observação didática: em muitos exercícios de prova a função dada é racional com denominador x+1, por isso aparece frequentemente o domínio \mathbb{R}\setminus\{-1\} e a imagem costuma excluir um valor (por exemplo 1 neste caso).

Passo 4

Sobre a existência de uma função [g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) tal que g(f(x))=x para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\} — explicação geral e aplicação ao exemplo.
Condições necessárias e suficientes (explicação didática):
  • A condição g(f(x))=x para todo x no domínio de f diz que g é uma “inversa à esquerda” de f em relação à composição.
  • Para que exista tal g, é necessário que f seja injetora: se f não for injetora, existem a\neq b com f(a)=f(b), e então qualquer g que tentasse satisfazer g(f(a))=a e g(f(b))=b teria que atribuir dois valores distintos ao mesmo argumento f(a)=f(b), o que é impossível. Logo, injetividade é necessária.
  • Injetividade é também suficiente para garantir a existência de alguma g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com g(f(x))=x em todo o domínio de f: constrói-se g definindo
    • para y\in D=f(\mathrm{dom}\,f), ponha g(y)=f^{-1}(y) (o inverso definido na imagem);
    • para y\notin D (valores fora da imagem), atribua g(y) arbitrariamente (por exemplo, g(y)=0 ou qualquer número fixo).
      Assim definida, g está em toda \mathbb{R} e satisfaz g(f(x))=x para todo x do domínio de f.
  • Observação importante: não é necessário que f seja sobrejetora em \mathbb{R}. Basta que seja injetora para permitir uma inversa à esquerda definida em toda \mathbb{R} através de extensão arbitrária fora da imagem.
Aplicando ao exemplo \displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}:
  • Já provamos que f é injetora e que a imagem é D=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Construção explícita de g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}: g(y)=\begin{cases} \dfrac{y}{1-y}, & y\neq 1,\\[6pt] 0, & y=1. \end{cases}Para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\], tem-se \(f(x)\in\mathbb{R}\setminus\{1\}, então g(f(x))=\frac{f(x)}{1-f(x)}=x,logo g(f(x))=x para todo x do domínio. Para o argumento y=1 (que não pertence à imagem), g(1) foi escolhido arbitrariamente = 0; isso não cria conflito porque nunca precisamos de g(1) para verificar g(f(x))=x.]

Passo 5

Resumo didático e conclusão sobre o enunciado original sem fórmula de f.
  • Como o enunciado não fornece a fórmula de f, não é possível executar concretamente as provas e cálculos pedidos em (a) e (b) para a função do problema. Para resolver explicitamente os itens seriam necessárias a expressão de f(x).
  • Entretanto, o procedimento que você deve usar na prova é este:
    1. Para (a): tente provar injetividade por definição (assumir f(a)=f(b) e deduzir a=b) ou, se possível, por monotonicidade (usar derivada se aplicável).
    2. Para (b): escreva y=f(x), resolva para x em função de y; o conjunto de y onde a solução existe é a imagem D; a expressão obtida para x em termos de y é f^{-1} em D.
    3. Para (c): se f for injetora, então existe g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com g(f(x))=x — basta definir g como f^{-1} na imagem D e atribuir valores arbitrários fora de D.
  • Exemplo completo e típico que ilustra tudo isso é f(x)=\dfrac{x}{x+1} (domínio \mathbb{R}\setminus\{-1\}): aí (a) f é injetora, (b) D=\mathbb{R}\setminus\{1\} e f^{-1}(y)=\dfrac{y}{1-y}, (c) existe g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com g(f(x))=x (definindo g como f^{-1} em D e atribuindo um valor qualquer em 1).

Resposta

Não é possível resolver explicitamente os itens porque a definição (fórmula) da função f não foi fornecida.

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