Nos itens abaixo descreva o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfazem a equação dada.
\ln \left(z^{2}\right)=2

Passo 1

O enunciado pede: descrever o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfazem a equação
\ln\!\left(z^{2}\right)=2.
Informações dadas:
  • A incógnita é o número complexo z.
  • A igualdade envolve o logaritmo complexo \ln.
    O objetivo é encontrar todos os complexos z que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o logaritmo complexo e como ele é multivalorado. Para um complexo w\neq0 vale a fórmula
\ln w = \ln|w| + i\big(\arg w + 2\pi k\big),
onde:
  • |w| é o módulo de w (um número real positivo),
  • \arg w é um argumento de w (um ângulo que indica a direção do vetor que representa w),
  • k\in\mathbb{Z} representa as várias folhas do logaritmo (a parte imaginária pode ser somada de 2\pi vezes um inteiro).
    Exemplo rápido para fixar: \ln 1 = 0 + i(0+2\pi k)=2\pi i k. Note que \ln 1 pode ser 0 ou 2\pi i, 4\pi i, etc., dependendo de k.

Passo 3

Defina w=z^{2}. A equação fica \ln w = 2. Aplicando a fórmula multivalorada do logaritmo temos, para algum k\in\mathbb{Z},
\ln|w| + i\big(\arg w + 2\pi k\big)=2.
Como o lado direito é o número real 2 (ou seja, 2+0i), devemos igualar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

Passo 4

Igualando a parte imaginária obtemos
\arg w + 2\pi k = 0.
Isto significa que \arg w = -2\pi k. Como argumentos que diferem por múltiplos de 2\pi representam a mesma direção, a condição implica que w tem argumento equivalente a 0 modulo 2\pi — ou seja, w é um número real estritamente positivo (ficou sobre o semieixo real positivo).

Passo 5

Igualando a parte real obtemos
\ln|w| = 2.
Isto dá |w| = e^{2}. Juntando com a informação do passo anterior (que w é real e positivo), concluímos que
w = e^{2}.

Passo 6

Voltando à variável z, temos z^{2}=e^{2}. Para resolver isso, escrevemos
\left(\frac{z}{e}\right)^{2}=1,
ou seja \frac{z}{e}=\pm 1. Assim
z = e\quad\text{ou}\quad z=-e.
Outra forma equivalentes: z=e\,e^{i\pi m} com m\in\mathbb{Z}, que gera exatamente z= e (para m par) e z=-e (para m ímpar).

Passo 7

Interpretação geométrica: o conjunto solução é composto por dois pontos no eixo real — um à direita da origem em x=e e outro à esquerda em x=-e. Não existem outras soluções complexas porque qualquer z que não tenha módulo |z|=e ou não produza argumento de z^{2} múltiplo de 2\pi falha em satisfazer a equação.

Resposta

\;z=e\n
\;z=-e

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