Nos itens abaixo descreva o conjunto de pontos
no plano complexo que satisfazem a equação dada.
Passo 1
O enunciado pede: descrever o conjunto de pontos
no plano complexo que satisfazem a equação
Informações dadas:
- A incógnita é o número complexo
. - A igualdade envolve o logaritmo complexo
.
O objetivo é encontrar todos os complexosque tornam essa igualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o logaritmo complexo e como ele é multivalorado. Para um complexo
vale a fórmula
onde:
-
é o módulo de (um número real positivo), -
é um argumento de (um ângulo que indica a direção do vetor que representa ), -
representa as várias folhas do logaritmo (a parte imaginária pode ser somada de vezes um inteiro).
Exemplo rápido para fixar:. Note que pode ser ou , , etc., dependendo de .
Passo 3
Defina
. A equação fica
. Aplicando a fórmula multivalorada do logaritmo temos, para algum
,
Como o lado direito é o número real
(ou seja,
), devemos igualar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.
Passo 4
Igualando a parte imaginária obtemos
Isto significa que
. Como argumentos que diferem por múltiplos de
representam a mesma direção, a condição implica que
tem argumento equivalente a
modulo
— ou seja,
é um número real estritamente positivo (ficou sobre o semieixo real positivo).
Passo 5
Igualando a parte real obtemos
Isto dá
. Juntando com a informação do passo anterior (que
é real e positivo), concluímos que
Passo 6
Voltando à variável
, temos
. Para resolver isso, escrevemos
ou seja
. Assim
Outra forma equivalentes:
com
, que gera exatamente
(para
par) e
(para
ímpar).
Passo 7
Interpretação geométrica: o conjunto solução é composto por dois pontos no eixo real — um à direita da origem em
e outro à esquerda em
. Não existem outras soluções complexas porque qualquer
que não tenha módulo
ou não produza argumento de
múltiplo de
falha em satisfazer a equação.