Nos itens abaixo, determine qual dos dois números complexos dados está mais próximo da origem.
ou
Passo 1
O enunciado dá dois números complexos e pede para determinar qual deles está mais próximo da origem. Dados:
A pergunta é: qual de
ou
tem menor distância até a origem no plano complexo?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática e intuitiva): se um número complexo é
, então ele corresponde ao ponto
no plano. A distância desse ponto até a origem
é dada pelo Teorema de Pitágoras: a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos
e
. Assim a distância (módulo) é
Aqui
é a parte real de
e
é a parte imaginária. Observação prática: para comparar qual de dois módulos é menor não é preciso calcular as raízes quadradas; basta comparar os quadrados dos módulos porque a função
é crescente para argumentos não negativos. Ou seja, comparar
entre os dois números já resolve o problema.
Passo 3
Aplicando a fórmula em
: a parte real é
e a parte imaginária é
. Então o quadrado do módulo é
Passo 4
Aplicando a fórmula em
: a parte real é
e a parte imaginária é
(o sinal não importa ao quadrar). Assim
Passo 5
Comparando os quadrados dos módulos:
e
. Como
, segue que
Opcional — para intuição numérica:
e
, então
é mesmo menor. Conclusão:
está mais próximo da origem.