Nos itens abaixo, determine qual dos dois números complexos dados está mais próximo da origem.
z_{1}=10+8 i ou z_{2}=11-6 i

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos e pede para determinar qual deles está mais próximo da origem. Dados:
  • z_{1}=10+8\,i
  • z_{2}=11-6\,i
A pergunta é: qual de z_{1} ou z_{2} tem menor distância até a origem no plano complexo?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática e intuitiva): se um número complexo é \,z=x+iy, então ele corresponde ao ponto (x,y) no plano. A distância desse ponto até a origem (0,0) é dada pelo Teorema de Pitágoras: a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos |x| e |y|. Assim a distância (módulo) é
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x é a parte real de z e y é a parte imaginária. Observação prática: para comparar qual de dois módulos é menor não é preciso calcular as raízes quadradas; basta comparar os quadrados dos módulos porque a função \sqrt{\cdot} é crescente para argumentos não negativos. Ou seja, comparar x^{2}+y^{2} entre os dois números já resolve o problema.

Passo 3

Aplicando a fórmula em z_{1}=10+8\,i: a parte real é x=10 e a parte imaginária é y=8. Então o quadrado do módulo é
|z_{1}|^{2}=10^{2}+8^{2}=100+64=164.

Passo 4

Aplicando a fórmula em z_{2}=11-6\,i: a parte real é x=11 e a parte imaginária é y=-6 (o sinal não importa ao quadrar). Assim
|z_{2}|^{2}=11^{2}+(-6)^{2}=121+36=157.

Passo 5

Comparando os quadrados dos módulos: |z_{1}|^{2}=164 e |z_{2}|^{2}=157. Como 157<164, segue que
|z_{2}|<|z_{1}|.
Opcional — para intuição numérica: |z_{1}|\approx\sqrt{164}\approx12{,}806 e |z_{2}|\approx\sqrt{157}\approx12{,}529, então |z_{2}| é mesmo menor. Conclusão: z_{2} está mais próximo da origem.

Resposta

z_{2} está mais próximo da origem.

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