Nos itens abaixo, determine o comprimento (L) das curvas dadas, em cm, com aproximação de duas casas decimais.
no intervalo [0,3]. A função aqui considerada é o cosseno hiperbólico cujo gráfico é uma catenária. Resposta:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o comprimento
da curva dada por
no intervalo
. A unidade pedida é
.\n
Dados fornecidos relevantes: a função no intervalo
. Não há outras restrições; devemos calcular o comprimento de arco da curva entre
e
.
Dados fornecidos relevantes: a função
Passo 2
Qual é a fórmula que usamos para comprimento de curva? Para uma função
contínua e diferenciável em
, o comprimento de arco
é dado por
Explicando:
é a derivada de
em relação a
; a expressão
vem de aproximar a curva por segmentos lineares e aplicar o teorema de Pitágoras infinitesimalmente. Aqui
e
.
Passo 3
Calcule a derivada da função dada. Temos
. A definição útil é
Derivando
termo a termo obtemos
Aqui
é a função seno hiperbólico.
Passo 4
Simplifique o integrando usando identidades hiperbólicas. Uma identidade básica (análoga à identidade trigonométrica) é
Rearranjando,
Essa identidade pode ser verificada diretamente substituindo as expressões em termos de
e
, mas vamos usá-la aqui para simplificar
.
Passo 5
Substituindo
e a identidade, o integrando fica
Observação importante:
para todo
real, portanto
(pegamos o sinal positivo da raiz). Assim o comprimento se reduz a uma integral simples:
Passo 6
Calcule a integral. Sabemos a primitiva de
:
logo
Aplicando o teorema fundamental do cálculo em
:
Passo 7
Avalie
. Da definição
, temos
Portanto
Passo 8
Expresse
em termos de exponenciais e faça a aproximação numérica. Temos
Agora calculamos
e
aproximadamente:
Subtraindo e dividindo por
:
Passo 9
Arredonde o valor para duas casas decimais, conforme solicitado. Arredondando
para duas casas decimais obtemos
. A unidade é
.
Resposta
10,02 cm