Nos itens abaixo, determine o comprimento (L) das curvas dadas, em cm, com aproximação de duas casas decimais.
y=\operatorname{cosh} (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} no intervalo [0,3]. A função aqui considerada é o cosseno hiperbólico cujo gráfico é uma catenária. Resposta: 10,02 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o comprimento L da curva dada por \displaystyle y=\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} no intervalo [0,3]. A unidade pedida é \mathrm{cm}.\n
Dados fornecidos relevantes: a função \operatorname{cosh}(x) no intervalo [0,3]. Não há outras restrições; devemos calcular o comprimento de arco da curva entre x=0 e x=3.

Passo 2

Qual é a fórmula que usamos para comprimento de curva? Para uma função y=f(x) contínua e diferenciável em [a,b], o comprimento de arco L é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando: f'(x) é a derivada de f em relação a x; a expressão \sqrt{1+(f'(x))^{2}} vem de aproximar a curva por segmentos lineares e aplicar o teorema de Pitágoras infinitesimalmente. Aqui a=0 e b=3.

Passo 3

Calcule a derivada da função dada. Temos \displaystyle y=\operatorname{cosh}(x). A definição útil é
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \qquad \operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Derivando \operatorname{cosh}(x) termo a termo obtemos
y'=\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{sinh}(x).
Aqui \operatorname{sinh}(x) é a função seno hiperbólico.

Passo 4

Simplifique o integrando usando identidades hiperbólicas. Uma identidade básica (análoga à identidade trigonométrica) é
\operatorname{cosh}^{2}(x)-\operatorname{sinh}^{2}(x)=1.
Rearranjando,
1+\operatorname{sinh}^{2}(x)=\operatorname{cosh}^{2}(x).
Essa identidade pode ser verificada diretamente substituindo as expressões em termos de e^{x} e e^{-x}, mas vamos usá-la aqui para simplificar \sqrt{1+(y')^{2}}.

Passo 5

Substituindo y'=\operatorname{sinh}(x) e a identidade, o integrando fica
\sqrt{1+\bigl(\operatorname{sinh}(x)\bigr)^{2}}=\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}(x)}.
Observação importante: \operatorname{cosh}(x)\ge 1 para todo x real, portanto \sqrt{\operatorname{cosh}^{2}(x)}=\operatorname{cosh}(x) (pegamos o sinal positivo da raiz). Assim o comprimento se reduz a uma integral simples:
L=\int_{0}^{3}\operatorname{cosh}(x)\,dx.

Passo 6

Calcule a integral. Sabemos a primitiva de \operatorname{cosh}(x):
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x)=\operatorname{cosh}(x),
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\int \operatorname{cosh}(x)\,dx=\operatorname{sinh}(x)+C.
Aplicando o teorema fundamental do cálculo em [0,3]:
L=\left[\operatorname{sinh}(x)\right]_{0}^{3}=\operatorname{sinh}(3)-\operatorname{sinh}(0).

Passo 7

Avalie \operatorname{sinh}(0). Da definição \operatorname{sinh}(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}, temos
\operatorname{sinh}(0)=\frac{e^{0}-e^{0}}{2}=0.
Portanto
L=\operatorname{sinh}(3).

Passo 8

Expresse \operatorname{sinh}(3) em termos de exponenciais e faça a aproximação numérica. Temos
\operatorname{sinh}(3)=\frac{e^{3}-e^{-3}}{2}.
Agora calculamos e^{3} e e^{-3} aproximadamente:
e^{3}\approx 20,0855369232,\qquad e^{-3}\approx 0,0497870684.
Subtraindo e dividindo por 2:
e^{3}-e^{-3}\approx 20,0855369232-0,0497870684=20,0357498548,
\operatorname{sinh}(3)\approx \frac{20,0357498548}{2}=10,0178749274\ldots

Passo 9

Arredonde o valor para duas casas decimais, conforme solicitado. Arredondando 10,0178749274\ldots para duas casas decimais obtemos 10,02. A unidade é \mathrm{cm}.

Resposta

10,02 cm

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