Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-4 y=6 e^{2 t-2},
y(1)=4, \quad y^{\prime}(1)=5

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial de segunda ordem com condição inicial em t=1:
y''(t)+3y'(t)-4y(t)=6e^{2t-2},
com
y(1)=4,\qquad y'(1)=5.
Dados importantes extraídos do enunciado:
\text{E.D.: }y''+3y'-4y=6e^{2t-2},
\text{Cond. iniciais: }y(1)=4,\; y'(1)=5.
O objetivo final é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e essas condições.

Passo 2

Motivação para a técnica que vou usar: a transformada de Laplace é normalmente definida com integrais \int_{0}^{\infty}, e as fórmulas que usamos para transformar derivadas exigem as condições iniciais em t=0. Aqui as condições estão em t=1. Então vamos fazer uma mudança de variável que mova o instante t=1 para t=0, resolvendo assim com as fórmulas usuais.
Defino a nova função
u(x)=y(x+1).
Assim quando x=0 temos u(0)=y(1)=4 e u'(0)=y'(1)=5. Também substituo t=x+1 na E.D. para escrever tudo em termos de x. Como y(x+1)=u(x), obtemos
u''(x)+3u'(x)-4u(x)=6e^{2(x+1)-2}=6e^{2x}.
Para simplificar a notação eu passo a renomear a variável x novamente por t (é apenas um rótulo), ficando a E.D. que vou resolver por Laplace:
u''(t)+3u'(t)-4u(t)=6e^{2t},
com
u(0)=4,\qquad u'(0)=5.

Passo 3

Breve explicação da transformada de Laplace e das propriedades que vou usar (tudo passo a passo):
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Denotarei \mathcal{L}\{u\}(s)=U(s).
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada de derivadas (fórmulas fundamentais, demonstração omitida aqui mas amplamente usadas em provas):
\mathcal{L}\{u'(t)\}(s)=sU(s)-u(0),
\mathcal{L}\{u''(t)\}(s)=s^{2}U(s)-s u(0)-u'(0).
Essas fórmulas aparecem integrando por partes e usando os limites em 0 e \infty.
  • Transformada de exponencial simples:
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \text{para } \Re(s)>a.
Vou aplicar a transformada à E.D. inteira.

Passo 4

Aplico \mathcal{L} à E.D.
\mathcal{L}\{u''\}+3\mathcal{L}\{u'\}-4\mathcal{L}\{u\}=\mathcal{L}\{6e^{2t}\}.
Substituindo as fórmulas das derivadas e U(s)=\mathcal{L}\{u\}(s), com u(0)=4 e u'(0)=5, temos
\bigl(s^{2}U(s)-s\cdot 4 - 5\bigr)+3\bigl(sU(s)-4\bigr)-4U(s)=6\cdot\frac{1}{s-2}.

Passo 5

Organizo a equação algébrica em U(s). Primeiro somo os termos que multiplicam U(s):
(s^{2}+3s-4)U(s).
Agora trato os termos constantes (vindos das condições iniciais):
- s\cdot 4 -5 -3\cdot 4 = -4s -5 -12 = -(4s+17).
Portanto a equação inteira fica
(s^{2}+3s-4)U(s) - (4s+17)=\frac{6}{s-2}.
Isolando U(s),
U(s)=\frac{4s+17}{s^{2}+3s-4} + \frac{6}{(s-2)(s^{2}+3s-4)}.

Passo 6

Fatoro o polinômio quadrático do denominador:
s^{2}+3s-4=(s-1)(s+4).
Vou decompor em frações parciais cada parcela para inverter a transformada.
Primeira parcela:
\frac{4s+17}{(s-1)(s+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+4) obtemos
4s+17=A(s+4)+B(s-1).
Comparando coeficientes ou plugando valores:
  • Tomando s=1: 4\cdot1+17=21=A(1+4)=5A A=\tfrac{21}{5}.
  • Tomando s=-4: 4(-4)+17=-16+17=1=B(-4-1)=-5B B=-\tfrac{1}{5}.
Segunda parcela:
\frac{6}{(s-2)(s-1)(s+4)}=\frac{C}{s-2}+\frac{D}{s-1}+\frac{E}{s+4}.
Multiplicando:
6=C(s-1)(s+4)+D(s-2)(s+4)+E(s-2)(s-1).
Para achar C,D,E plugamos raízes:
  • s=2: 6=C(1)(6) C=1.
  • s=1: 6=D(-1)(5)=-5D D=-\tfrac{6}{5}.
  • s=-4: 6=E(-6)(-5)=30E E=\tfrac{1}{5}.

Passo 7

Agora somo as duas decomposições para obter U(s). Reescrevendo cada parcela:
\frac{4s+17}{(s-1)(s+4)}=\frac{21/5}{s-1}-\frac{1/5}{s+4},
\frac{6}{(s-2)(s-1)(s+4)}=\frac{1}{s-2}-\frac{6/5}{s-1}+\frac{1/5}{s+4}.
Somando termo a termo (atenção aos denominadores iguais):
  • Coeficiente de \tfrac{1}{s-1}: \tfrac{21}{5} - \tfrac{6}{5} = \tfrac{15}{5}=3.
  • Coeficiente de \tfrac{1}{s+4}: -\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{5}=0.
  • Coeficiente de \tfrac{1}{s-2}: 1.
Portanto
U(s)=\frac{3}{s-1}+\frac{1}{s-2}.

Passo 8

Inverto a transformada termo a termo usando a tabela básica:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{at}.
Assim,
u(t)=3e^{1\cdot t}+1\cdot e^{2\cdot t}=3e^{t}+e^{2t}.

Passo 9

Lembro que u(t)=y(t+1). Queremos y em função da variável original t. Assim substituímos t por t-1 (isto é, y(t)=u(t-1)):
y(t)=3e^{\,t-1}+e^{\,2(t-1)}.
Posso reescrever levemente:
y(t)=3e^{t-1}+e^{2t-2}.
Cheque rápido das condições iniciais: y(1)=3e^{0}+e^{0}=4 e y'(1)=3e^{0}+2e^{0}=5, consistente.

Resposta

y(t)=3e^{t-1}+e^{2t-2}

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