Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
,
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial de segunda ordem com condição inicial em
:
com
Dados importantes extraídos do enunciado:
O objetivo final é encontrar a função
que satisfaz a equação e essas condições.
Passo 2
Motivação para a técnica que vou usar: a transformada de Laplace é normalmente definida com integrais
, e as fórmulas que usamos para transformar derivadas exigem as condições iniciais em
. Aqui as condições estão em
. Então vamos fazer uma mudança de variável que mova o instante
para
, resolvendo assim com as fórmulas usuais.
Defino a nova função
Assim quando
temos
e
. Também substituo
na E.D. para escrever tudo em termos de
. Como
, obtemos
Para simplificar a notação eu passo a renomear a variável
novamente por
(é apenas um rótulo), ficando a E.D. que vou resolver por Laplace:
com
Passo 3
Breve explicação da transformada de Laplace e das propriedades que vou usar (tudo passo a passo):
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
Denotarei
.
-
Linearidade:
. -
Transformada de derivadas (fórmulas fundamentais, demonstração omitida aqui mas amplamente usadas em provas):
Essas fórmulas aparecem integrando por partes e usando os limites em
e
.
- Transformada de exponencial simples:
Vou aplicar a transformada à E.D. inteira.
Passo 4
Aplico
à E.D.
Substituindo as fórmulas das derivadas e
, com
e
, temos
Passo 5
Organizo a equação algébrica em
. Primeiro somo os termos que multiplicam
:
Agora trato os termos constantes (vindos das condições iniciais):
Portanto a equação inteira fica
Isolando
,
Passo 6
Fatoro o polinômio quadrático do denominador:
Vou decompor em frações parciais cada parcela para inverter a transformada.
Primeira parcela:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes ou plugando valores:
- Tomando
: ⇒ . - Tomando
: ⇒ .
Segunda parcela:
Multiplicando:
Para achar
plugamos raízes:
-
: ⇒ . -
: ⇒ . -
: ⇒ .
Passo 7
Agora somo as duas decomposições para obter
. Reescrevendo cada parcela:
Somando termo a termo (atenção aos denominadores iguais):
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Portanto
Passo 8
Inverto a transformada termo a termo usando a tabela básica:
Assim,
Passo 9
Lembro que
. Queremos
em função da variável original
. Assim substituímos
por
(isto é,
):
Posso reescrever levemente:
Cheque rápido das condições iniciais:
e
, consistente.