Nos itens abaixo, determine o comprimento (L) das curvas dadas, em cm, com aproximação de duas casas decimais.
Estabeleça uma integral para obter o comprimento do arco da equação
de
a
. Usando um CAS, obtém-se a que o comprimento é
.
Estabeleça uma integral para obter o comprimento do arco da equação
Passo 1
Dados fornecidos:
com pontos de extremidade
e
. O que se pede:
- Estabelecer a integral que dá o comprimento do arco entre
e . - Observar que, usando um CAS, o comprimento numérico é
(isso foi informado no enunciado).
Passo 2
Observação sobre a forma de tratar a curva: da equação dada podemos isolar
em função de
. É conveniente parametrizar a curva por
porque os pontos
e
têm
-coordenadas
e
, logo a variação de
vai de
até
. Assim trabalharemos com
.
Passo 3
Fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por
: considere um pequeno segmento da curva entre
e
. O pequeno deslocamento em
é
e em
é
, então o comprimento diferencial
é dado pelo teorema de Pitágoras:
Dividindo por
e isolando
obtemos
Aqui
é a derivada de
em relação a
. Para obter o comprimento total
integrarmos
sobre o intervalo de
que corresponde aos pontos dados:
Explicando cada símbolo:
é o comprimento total,
e
são os limites em
(aqui
e
), e a raiz vem da soma dos quadrados dos incrementos horizontais e verticais.
Passo 4
Agora obtenha
e a derivada:
Da equação isolamos
Da equação
Derivando em relação a
,
Calcule
:
Então o integrando fica
Passo 5
Escrevendo a integral de comprimento com os limites
a
:
Comentário prático: essa integral não tem primitiva elementar simples, por isso avaliamos numericamente (por exemplo por métodos numéricos como regra dos trapézios, Simpson, ou usando um CAS). Como verificação rápida, aplicando a regra de Simpson com passo
(7 nós:
) obtém-se aproximadamente
cm, e refinando a quadratura (ou usando um CAS) obtém‑se o valor informado pelo enunciado: