Nos itens abaixo, determine o comprimento (L) das curvas dadas, em cm, com aproximação de duas casas decimais.
Estabeleça uma integral para obter o comprimento do arco da equação y^{3}-y-x=0 de A=(0,-1) a B=(6,2). Usando um CAS, obtém-se a que o comprimento é 8,73 \mathrm{~cm}.

Passo 1

Dados fornecidos:
y^{3}-y-x=0,
com pontos de extremidade A=(0,-1) e B=(6,2). O que se pede:
  • Estabelecer a integral que dá o comprimento do arco entre A e B.
  • Observar que, usando um CAS, o comprimento numérico é 8,73\\ \text{cm} (isso foi informado no enunciado).

Passo 2

Observação sobre a forma de tratar a curva: da equação dada podemos isolar x em função de y. É conveniente parametrizar a curva por y porque os pontos A e B têm y-coordenadas -1 e 2, logo a variação de y vai de -1 até 2. Assim trabalharemos com x=x(y).

Passo 3

Fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por x=x(y): considere um pequeno segmento da curva entre y e y+dy. O pequeno deslocamento em x é dx e em y é dy, então o comprimento diferencial ds é dado pelo teorema de Pitágoras:
ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}.
Dividindo por dy e isolando ds obtemos
ds=\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}\,dy.
Aqui \frac{dx}{dy} é a derivada de x em relação a y. Para obter o comprimento total L integrarmos ds sobre o intervalo de y que corresponde aos pontos dados:
L=\int_{y_{1}}^{y_{2}}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}\,dy.
Explicando cada símbolo: L é o comprimento total, y_{1} e y_{2} são os limites em y (aqui -1 e 2), e a raiz vem da soma dos quadrados dos incrementos horizontais e verticais.

Passo 4

Agora obtenha x(y) e a derivada:
Da equação y^{3}-y-x=0 isolamos
x=y^{3}-y.
Derivando em relação a y,
\frac{dx}{dy}=3y^{2}-1.
Calcule \left(\dfrac{dx}{dy}\right)^{2}:
\left(3y^{2}-1\right)^{2}=9y^{4}-6y^{2}+1.
Então o integrando fica
1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}=1+\bigl(9y^{4}-6y^{2}+1\bigr)=9y^{4}-6y^{2}+2.

Passo 5

Escrevendo a integral de comprimento com os limites y=-1 a y=2:
L=\int_{-1}^{2}\sqrt{9y^{4}-6y^{2}+2}\,dy.
Comentário prático: essa integral não tem primitiva elementar simples, por isso avaliamos numericamente (por exemplo por métodos numéricos como regra dos trapézios, Simpson, ou usando um CAS). Como verificação rápida, aplicando a regra de Simpson com passo h=0,5 (7 nós: -1,-0,5,0,0,5,1,1,5,2) obtém-se aproximadamente 8,70 cm, e refinando a quadratura (ou usando um CAS) obtém‑se o valor informado pelo enunciado:
L\approx 8,73\\ \text{cm}.

Resposta

L=8,73\\ \text{cm}

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