Calcule
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a transformada de Laplace de
As informações relevantes:
no intervalo
e igual a
para
. Não há outras incógnitas: precisamos encontrar
.]
Passo 2
Lembra da definição da transformada de Laplace? É a ferramenta que transforma uma função do tempo
em uma função de
por meio da integral
onde
é, em geral, um número complexo e a integral converge tipicamente para
. Aqui cada símbolo significa:
-
é a função no tempo que queremos transformar; -
é o núcleo da transformação, que “pesa” os valores de conforme aumenta; -
é a variável complexa da transformada.
Passo 3
Como
em
e
para
, a integral de
até
fica somente no trecho em que
é não nula. Logo podemos escrever
Isto simplifica bem a conta: basta integrar
de
a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral passo a passo. A primitiva (antiderivada) de
em relação a
é
. Para ver por que: derivando
em relação a
obtemos
. Assim
Agora avaliamos nos limites:
Passo 5
Reorganizando o resultado temos uma forma bonita e simples:
É útil notar a condição de convergência: essa expressão é válida para
, que garante convergência da integral original (no nosso caso a integral é finita mesmo, mas a condição padrão de Laplace permanece).
Passo 6
Dica rápida de prova/exame: uma maneira alternativa — que às vezes é mais rápida — é escrever
usando a função degrau unitário
. Observando que
até
e depois zero, temos
. Aplicando a linearidade da transformada e a propriedade do deslocamento em
(ou seja,
), obtemos
o que confirma o resultado anterior. Isso é prático para lembrar rápido na prova.