Calcule \mathscr{L}\left\{f(t)\right\}\), ou \(\mathscr{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}\), conforme seja o caso: \((1,0 \mathrm{pts}) f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<1, \\\\ 0, & t \geq 1 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a transformada de Laplace de f(t)\), ou a transformada inversa conforme o caso. Aqui temos explicitamente a função \[f(t)=\begin{cases} 1, & 0\le t<1,\\[4pt] 0, & t\ge 1. \end{cases}
As informações relevantes: f(t)\] é igual a \(1 no intervalo [0,1) e igual a 0 para t\ge1. Não há outras incógnitas: precisamos encontrar \mathscr{L}\{f(t)\}.]

Passo 2

Lembra da definição da transformada de Laplace? É a ferramenta que transforma uma função do tempo f(t) em uma função de s por meio da integral
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo e a integral converge tipicamente para \operatorname{Re}(s)>0. Aqui cada símbolo significa:
  • f(t) é a função no tempo que queremos transformar;
  • e^{-st} é o núcleo da transformação, que “pesa” os valores de f conforme t aumenta;
  • s é a variável complexa da transformada.

Passo 3

Como f(t)=1 em 0\le t<1 e f(t)=0 para t\ge1, a integral de 0 até \infty fica somente no trecho em que f(t) é não nula. Logo podemos escrever
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt=\int_{0}^{1} e^{-st}\cdot 1\,dt.
Isto simplifica bem a conta: basta integrar e^{-st} de 0 a 1.

Passo 4

Vamos calcular a integral passo a passo. A primitiva (antiderivada) de e^{-st} em relação a t é -\dfrac{1}{s}e^{-st}. Para ver por que: derivando -\dfrac{1}{s}e^{-st} em relação a t obtemos -\dfrac{1}{s}\cdot(-s)e^{-st}=e^{-st}. Assim
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=0}^{t=1}.
Agora avaliamos nos limites:
\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{1}=-\dfrac{1}{s}e^{-s}-\left(-\dfrac{1}{s}e^{0}\right)=-\dfrac{1}{s}e^{-s}+\dfrac{1}{s}.

Passo 5

Reorganizando o resultado temos uma forma bonita e simples:
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\dfrac{1}{s}\bigl(1-e^{-s}\bigr).
É útil notar a condição de convergência: essa expressão é válida para \operatorname{Re}(s)>0, que garante convergência da integral original (no nosso caso a integral é finita mesmo, mas a condição padrão de Laplace permanece).

Passo 6

Dica rápida de prova/exame: uma maneira alternativa — que às vezes é mais rápida — é escrever f(t) usando a função degrau unitário u(t-1). Observando que f(t)=1 até t=1 e depois zero, temos f(t)=1-u(t-1). Aplicando a linearidade da transformada e a propriedade do deslocamento em s (ou seja, \mathscr{L}\{u(t-a)\}=e^{-as}/s), obtemos
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\mathscr{L}\{1\}(s)-\mathscr{L}\{u(t-1)\}(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{e^{-s}}{s}=\dfrac{1-e^{-s}}{s},
o que confirma o resultado anterior. Isso é prático para lembrar rápido na prova.

Resposta

\displaystyle \mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\dfrac{1-e^{-s}}{s},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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