Para os itens abaixo, determine um fator integrante apropriado para transformar a equação em exata.
(2 y^2+3 x) d x+2 x y d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial na forma (2 y^2+3 x) dx + 2 x y dy = 0. O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Nosso objetivo é encontrar um fator que, quando multiplicado na equação original, a torne exata, ou seja, que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) e N(x, y) na nossa equação. Aqui, temos:
M(x, y) = 2 y^2 + 3 x
N(x, y) = 2 x y

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4 y
partial Npartial x = 2 y
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que iguale essas derivadas parciais.

Passo 4

Assumimos que o fator integrante mu depende apenas de x ou de y. Vamos tentar mu(y). A condição para que a equação se torne exata é:
d mudy = mu ( partial Mpartial y - partial Npartial xN )
Substituindo os valores:
d mudy = mu ( 4 y - 2 y2 x y ) = mu ( 2 y2 x y ) = mu ( 1x )
Isso implica que mu depende de x, não de y. Então, nosso palpite inicial estava errado. Vamos tentar mu(x).

Passo 5

Considerando mu(x), a condição para exatidão fica:
d mudx = mu ( partial Npartial x - partial Mpartial yM )
Substituindo os valores:
d mudx = mu ( 2 y - 4 y2 y^2 + 3 x ) = mu ( -2 y2 y^2 + 3 x )
Aqui, percebemos que a expressão ainda depende de y, o que complica. Então, vamos buscar um fator integrante que seja uma função de x e y.

Passo 6

Outra abordagem é considerar que o fator integrante mu seja da forma mu(x, y) = x^m y^n. Nosso objetivo é determinar os valores de m e n que tornam a equação exata.
Multiplicando a equação original por mu:
mu(2 y^2 + 3 x) dx + mu(2 x y) dy = 0
Para que seja exata:
partial (mu M)partial y = partial (mu N)partial x
Substituindo mu = x^m y^n:
partial (x^m y^n (2 y^2 + 3 x))partial y = partial (x^m y^n cdot 2 x y)partial x

Passo 7

Calculando as derivadas:
Para o lado esquerdo:
partialpartial y (x^m y^n (2 y^2 + 3 x)) = x^m ( n y^n-1 (2 y^2 + 3 x) + y^n cdot 4 y )
= x^m y^n-1 (2 n y^2 + 3 n x + 4 y^2)
= x^m y^n-1 ( (2 n + 4) y^2 + 3 n x )
Para o lado direito:
partialpartial x (x^m y^n cdot 2 x y) = partialpartial x (2 x^m+1 y^n+1)
= 2 (m + 1) x^m y^n+1

Passo 8

Igualando as duas expressões:
x^m y^n-1 ( (2 n + 4) y^2 + 3 n x ) = 2 (m + 1) x^m y^n+1
Dividindo ambos os lados por x^m y^n-1:
(2 n + 4) y^2 + 3 n x = 2 (m + 1) y^2
Para que isso seja válido para todos x e y, precisamos que os coeficientes de y^2 e x sejam iguais:
  1. 2 n + 4 = 2 (m + 1)
  2. 3 n = 0

Passo 9

Da segunda equação, 3 n = 0, temos n = 0.
Substituindo n = 0 na primeira equação:
2(0) + 4 = 2(m + 1)
4 = 2 m + 2
2 m = 2
m = 1

Passo 10

Então, o fator integrante é:
mu(x, y) = x^m y^n = x^1 y^0 = x

Resposta

O fator integrante apropriado é mu(x) = x.

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