Para os itens abaixo, determine um fator integrante apropriado para transformar a equação em exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial na forma
. O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Nosso objetivo é encontrar um fator que, quando multiplicado na equação original, a torne exata, ou seja, que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa equação. Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que iguale essas derivadas parciais.
Passo 4
Assumimos que o fator integrante
depende apenas de
ou de
. Vamos tentar
. A condição para que a equação se torne exata é:
Substituindo os valores:
Isso implica que
depende de
, não de
. Então, nosso palpite inicial estava errado. Vamos tentar
.
Passo 5
Considerando
, a condição para exatidão fica:
Substituindo os valores:
Aqui, percebemos que a expressão ainda depende de
, o que complica. Então, vamos buscar um fator integrante que seja uma função de
e
.
Passo 6
Outra abordagem é considerar que o fator integrante
seja da forma
. Nosso objetivo é determinar os valores de
e
que tornam a equação exata.
Multiplicando a equação original por
:
Para que seja exata:
Substituindo
:
Passo 7
Calculando as derivadas:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 8
Igualando as duas expressões:
Dividindo ambos os lados por
:
Para que isso seja válido para todos
e
, precisamos que os coeficientes de
e
sejam iguais:
Passo 9
Da segunda equação,
, temos
.
Substituindo
na primeira equação:
Passo 10
Então, o fator integrante é:
Resposta
O fator integrante apropriado é
.