No itens abaixo determine a matriz M_{\mathscr{B}^{\'}}^{\mathscr{B}} mudança de base \mathscr{B} para a base \mathscr{B}^{\'}.
V=\mathbb{R}^{3}, \mathscr{B} base canônica e \mathscr{B}^{\'}=\{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1)\}).\

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base \;M_{\mathscr{B}'}^{\mathscr{B}},
que transforma as coordenadas de um vetor em relação à base canônica \mathscr B para coordenadas em relação à base \mathscr B'=\{v_1,v_2,v_3\},
onde
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(1,0,1),\quad v_3=(1,0,-1).
Para fazer isso, vamos montar primeiro a matriz cujas colunas são os vetores de \mathscr B' escritos na base canônica. Depois, como a base canônica é \mathscr B, a mudança de \mathscr B para \mathscr B' será dada pelo inverso dessa matriz.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3 em coordenadas canônicas:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Por construção, para qualquer vetor x' de coordenadas em \mathscr B', a matriz A dá as coordenadas canônicas:
A\,x' = x_{\text{can}}.

Passo 3

Queremos, porém, a matriz que toma x_{\text{can}} e devolve x'. Ou seja,
x' = A^{-1}\,x_{\text{can}}.
Logo
M_{\mathscr B'}^{\mathscr B} \;=\; A^{-1}.

Passo 4

Calculamos \det(A) e depois a matriz adjunta para obter A^{-1}:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&-1\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&-1\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} =0 -(-1)+1 = 2.
Os cofatores organizados em matriz e transpostos (adjunta) dão
\mathrm{adj}(A) =\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 2 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Portanto
A^{-1}=\frac1{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) =\frac12 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 2 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}^T.

Passo 5

Fazendo a transposição final, obtemos
M_{\mathscr B'}^{\mathscr B} = A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & -1 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & 0 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.

Resposta

M_{\mathscr B'}^{\mathscr B} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\ \frac12 & -1 & \frac12\\\ \frac12 & 0 & -\frac12 \end{pmatrix}.

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