Seja
um espaço vetorial qualquer sobre um corpo
e sejam
e
subespaços vetoriais de
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ( )
é subespaço vetorial de
se, e somente se,
ou
.
(b) ( )
é subespaço vetorial de
se, e somente se,
ou
.
(c) ( )
é um espaço vetorial, então está definida em
a soma e a multiplicação entre seus vetores, satisfazendo as propriedades: comutatividade, associatividade, elemento neutro e elemento simétrico.
(d) ( ) O próprio espaço vetorial
e o subespaço
são os chamados subespaços vetoriais triviais de $V.
(a) ( )
(b) ( )
(c) ( )
(d) ( ) O próprio espaço vetorial
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em um espaço vetorial
sobre
com subespaços
e
, se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve:
- Propriedade de interseção de subespaços.
- Propriedade da soma de subespaços.
- Definição de espaço vetorial (operações e axiomas).
- Identificação dos subespaços vetoriais triviais.
Passo 2
(a) Sabemos que, de modo geral, dado quaisquer subespaços
e
de
, a interseção
é sempre um subespaço de
. Não é necessário que
seja igual a
ou a
; pode ser um subespaço próprio. Portanto, a afirmação “
é subespaço de
se, e somente se,
ou
” é falsa.
Passo 3
(b) A soma
é sempre um subespaço de
, independentemente de haver inclusão entre
e
. Logo, a afirmação “
é subespaço de
se, e somente se,
ou
” também é falsa.
Passo 4
(c) Num espaço vetorial
existem duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalares. A adição satisfaz comutatividade, associatividade, elemento neutro
e inverso aditivo. Já a multiplicação por escalar obedece a outras leis (distributividade, compatibilidade de escalares, etc.). Não há “multiplicação entre vetores” que siga exatamente essas quatro propriedades. Assim, a afirmação é falsa.
Passo 5
(d) Os subespaços vetoriais triviais de
são o próprio
e o subespaço que contém apenas o vetor zero, isto é,
O conjunto
(ou o próprio conjunto vazio) não é subespaço de
. Logo, a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa