Em cada um dos casos, determine o subespaço gerado pelo subconjunto S do espaço vetorial V.
S=\{(1,1,1),(1,1,0),(0,1,1)\} \quad em \quad V=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o subespaço gerado por
S = \{(1,1,1),\,(1,1,0),\,(0,1,1)\}
no espaço vetorial V=\mathbb{R}^3.
Conteúdo: subespaço gerado (span), independência linear e dimensão. Vamos verificar se esses três vetores são independentes; se sim, formam base de \mathbb{R}^3 e o span será todo o \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para testar independência, formamos a matriz A cujas colunas são os vetores de S:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos seu determinante:
\det(A) =1\cdot(1\cdot1-1\cdot0)\;-\;1\cdot(1\cdot1-1\cdot1)\;+\;0\cdot(1\cdot0-1\cdot1) =1\;-\;0\;+\;0=1\neq0.
Como \det(A)\neq0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Em \mathbb{R}^3, três vetores linearmente independentes formam uma base. Logo, \dim(\mathrm{span}(S))=3 e o subespaço gerado é todo \mathbb{R}^3.

Resposta

\mathrm{span}(S)=\mathbb{R}^3

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