Nos itens abaixo, encontre o domínio da função; encontre a imagem da função; descreva as curvas de nível da função.
f(x, y)=4 x^{2}+9 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=4x^{2}+9y^{2}.
As perguntas são:
  1. encontrar o domínio de f;
  2. encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f;
  3. descrever as curvas de nível (conjuntos \{(x,y)\mid f(x,y)=c\} para cada constante c).
    Informações dadas relevantes: a expressão é um polinômio em x e y formado por quadrados multiplicados por constantes positivas.

Passo 2

Determinação do domínio. Conceito rápido: o domínio de uma função são todos os pares (x,y) para os quais a expressão está bem definida. Polinômios em x e y são definidos para todo par de números reais. Portanto o domínio é todo o plano. Em notação:
\text{Domínio}=\mathbb{R}^{2}.í
Exemplo concreto: podemos escolher x=100, y=-3{,}5 sem problema e calcular f(100,-3{,}5)=4\cdot100^{2}+9\cdot(-3{,}5)^{2}.

Passo 3

Determinação da imagem (valores que f pode assumir). Observação importante: quadrados são sempre não negativos, então para todo (x,y)
4x^{2}\ge 0,\qquad 9y^{2}\ge 0,
logo
f(x,y)=4x^{2}+9y^{2}\ge 0.
Além disso f(0,0)=0, então 0 pertence à imagem. Para mostrar que todo número não negativo t\ge 0 está na imagem, basta achar (x,y) com f(x,y)=t. Uma escolha simples é y=0 e x=\pm\frac{\sqrt{t}}{2}, pois
f\!\left(\pm\frac{\sqrt{t}}{2},0\right)=4\left(\frac{\sqrt{t}}{2}\right)^{2}=4\cdot\frac{t}{4}=t.
Portanto todo t\ge 0 é atingido. Conclusão: a imagem é o intervalo
\text{Imagem}=[0,\infty).

Passo 4

Definição das curvas de nível. Para uma constante c\in\mathbb{R}, a curva de nível de altura c é o conjunto
L_{c}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 4x^{2}+9y^{2}=c\}.
Vamos analisar os casos de c.

Passo 5

Caso c<0. A soma de dois termos não negativos não pode ser negativa, logo não existem pontos (x,y) com 4x^{2}+9y^{2}=c<0. Portanto, para c<0,
L_{c}=\varnothing.

Passo 6

Caso c=0. Temos 4x^{2}+9y^{2}=0. Como ambos os termos são \ge 0, a única possibilidade é x=0 e y=0. Assim
L_{0}=\{(0,0)\},
ou seja, a curva de nível c=0 é apenas o ponto origem.

Passo 7

Caso c>0. Neste caso podemos escrever a equação em forma de elipse dividindo por c:
\frac{x^{2}}{c/4}+\frac{y^{2}}{c/9}=1.
Para interpretar, defina os semi-eixos
a=\sqrt{\frac{c}{4}}=\tfrac{1}{2}\sqrt{c},\qquad b=\sqrt{\frac{c}{9}}=\tfrac{1}{3}\sqrt{c}.
Então a equação fica
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
que é a equação padrão de uma elipse centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados, semi-eixo horizontal a e semi-eixo vertical b. Uma parametrização conveniente é
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).

Passo 8

Propriedades geométricas e exemplos. Para c>0:
  • interseção com o eixo x: y=0 x=\pm a=\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{c};
  • interseção com o eixo y: x=0 y=\pm b=\pm\tfrac{1}{3}\sqrt{c}.
    Exemplos numéricos: para c=4 temos a=1, b=\tfrac{2}{3} (elipse passando por (\pm1,0) e (0,\pm\tfrac{2}{3})); para c=36 temos a=3, b=2. À medida que c aumenta, as elipses crescem mantendo a mesma orientação (eixos paralelos aos eixos coordenados). Para c\to\infty as elipses se expandem sem limite.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}
Imagem: [0,\infty)
Curvas de nível: para c<0 L_{c}=\varnothing; para c=0 L_{0}=\{(0,0)\}; para c>0 L_{c}=\{(x,y)\mid 4x^{2}+9y^{2}=c\}, que são elipses centradas na origem com semi-eixos a=\tfrac{1}{2}\sqrt{c} (horizontal) e b=\tfrac{1}{3}\sqrt{c} (vertical).

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