Nos itens abaixo, encontre o domínio da função; encontre a imagem da função; descreva as curvas de nível da função.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
dada por
As perguntas são:
- encontrar o domínio de
; - encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
; - descrever as curvas de nível (conjuntos
para cada constante ).
Informações dadas relevantes: a expressão é um polinômio eme formado por quadrados multiplicados por constantes positivas.
Passo 2
Determinação do domínio. Conceito rápido: o domínio de uma função são todos os pares
para os quais a expressão está bem definida. Polinômios em
e
são definidos para todo par de números reais. Portanto o domínio é todo o plano. Em notação:
Exemplo concreto: podemos escolher
,
sem problema e calcular
.
Passo 3
Determinação da imagem (valores que
pode assumir). Observação importante: quadrados são sempre não negativos, então para todo
logo
Além disso
, então
pertence à imagem. Para mostrar que todo número não negativo
está na imagem, basta achar
com
. Uma escolha simples é
e
, pois
Portanto todo
é atingido. Conclusão: a imagem é o intervalo
Passo 4
Definição das curvas de nível. Para uma constante
, a curva de nível de altura
é o conjunto
Vamos analisar os casos de
.
Passo 5
Caso
. A soma de dois termos não negativos não pode ser negativa, logo não existem pontos
com
. Portanto, para
,
Passo 6
Caso
. Temos
. Como ambos os termos são
, a única possibilidade é
e
. Assim
ou seja, a curva de nível
é apenas o ponto origem.
Passo 7
Caso
. Neste caso podemos escrever a equação em forma de elipse dividindo por
:
Para interpretar, defina os semi-eixos
Então a equação fica
que é a equação padrão de uma elipse centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados, semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
. Uma parametrização conveniente é
Passo 8
Propriedades geométricas e exemplos. Para
:
- interseção com o eixo
: dá ; - interseção com o eixo
: dá .
Exemplos numéricos: paratemos , (elipse passando por e ); para temos , . À medida que aumenta, as elipses crescem mantendo a mesma orientação (eixos paralelos aos eixos coordenados). Para as elipses se expandem sem limite.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: para
; para
; para
, que são elipses centradas na origem com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical).
Imagem:
Curvas de nível: para