Para as seguintes funções encontre seus pontos críticos e classifique-os:
f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}+4 x+4 y+

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos de f(x,y,z) e classificá‑los (mínimo, máximo ou sela). A informação dada é a expressão parcial
f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}+4x+4y+
ou seja, a expressão foi cortada no final e falta parte da função (após o sinal +). Portanto a fórmula completa de f não foi fornecida, e essa falta de informação impede obter uma solução numérica única para todos os pontos críticos e sua classificação.

Passo 2

O que eu faria em geral para encontrar pontos críticos: calcular o gradiente de f e resolver o sistema formado pelas equações obtidas igualando cada componente do gradiente a zero. Aqui vai a explicação didática desse procedimento.
Definição e ideia:
  • O gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Um ponto (x_0,y_0,z_0) é ponto crítico se
\nabla f(x_0,y_0,z_0)=\mathbf{0},
ou seja, todas as derivadas parciais valem zero nesse ponto.

Passo 3

Como aplicar isso ao termo que temos: para os termos conhecidos da função, as derivadas parciais são fáceis de calcular. Relembre:
  • A derivada de x^{4} em relação a x é 4x^{3}.
  • A derivada de 4x em relação a x é 4.
    Aplicando isso para x e y (usando somente a parte conhecida), obtemos:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}+4 + \left(\text{contribuições do pedaço faltante, se houver}\right),çõç
\frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}+4 + \left(\text{contribuições do pedaço faltante, se houver}\right).çõç
Para z não podemos escrever a derivada completa porque a expressão após o último + pode conter um termo em z que afetaria \partial f/\partial z. Contudo, a parte conhecida já dá a contribuição 4z^{3} vinda de z^{4}:
\frac{\partial f}{\partial z}=4z^{3} + \left(\text{contribuições do pedaço faltante}\right).çõç

Passo 4

Resolver o sistema \nabla f=\mathbf{0}: consideremos apenas as equações que já podemos escrever sem inventar nada:
4x^{3}+4=0,\qquad 4y^{3}+4=0.
Explicando passo a passo a resolução: divida cada equação por 4 para simplificar,
x^{3}+1=0,\qquad y^{3}+1=0.
Isto significa
x^{3}=-1,\qquad y^{3}=-1.
A raiz cúbica real de -1 é -1, logo
x=-1,\qquad y=-1.
Portanto qualquer ponto crítico possível deve ter as coordenadas x=-1 e y=-1. A coordenada z depende da parte faltante do enunciado e não pode ser determinada sem essa informação completa.

Passo 5

Agora a classificação: usamos a matriz Hessiana H de f, que é a matriz das segundas derivadas parciais:
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}\\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}\\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial z\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial z\partial y} & \frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} \end{pmatrix}.
A ideia do teste de segunda derivada em \mathbb{R}^{3}:
  • Se H for definida positiva no ponto crítico, temos mínimo local.
  • Se H for definida negativa, temos máximo local.
  • Se H for indefinida, o ponto é um sela.
    Para a parte conhecida da função (os termos x^{4},y^{4},z^{4}) as segundas derivadas são:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(x^{4})=12x^{2},\qquad \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}(y^{4})=12y^{2},\qquad \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}(z^{4})=12z^{2},
e as derivadas mistas entre monômios x^{4},y^{4},z^{4} são zero. A parte faltante pode alterar \frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} e possivelmente as mistas se contiver termos mistos.]

Passo 6

Avaliação parcial em x=-1 e y=-1: substituindo nas segundas derivadas conhecidas,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}( -1,\,-1,\,z)=12(-1)^{2}=12, \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}( -1,\,-1,\,z)=12.
Esses dois valores são positivos, o que favorece comportamento de mínimo nas direções x e y. A componente relativa a z, \frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}, depende do termo faltante; com apenas z^{4} a contribuição seria 12z^{2}, que é não negativa e igual a 12z^{2} no ponto crítico (avaliação em z específico necessária). Mas sem saber o que foi adicionado após o + não podemos concluir a positividade estrita da terceira componente nem a ausência de termos mistos que poderiam tornar a matriz indefinida.

Passo 7

Portanto, conclusão lógica sem inventar nada: com os dados fornecidos só podemos afirmar que qualquer ponto crítico deve satisfazer x=-1 e y=-1; a coordenada z e a classificação completa (mínimo, máximo ou sela) não podem ser determinadas porque a expressão de f está incompleta.

Passo 8

Para te ajudar a ver como seria com um caso concreto (apenas como exemplo didático — não é a resolução do seu enunciado incompleto), suponha que o termo faltante fosse +4z (eu explicito que isto é uma suposição de exemplo). Então a função seria
f_{\text{ex}}(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}+4x+4y+4z.
Nesse caso o gradiente é
\nabla f_{\text{ex}}=(4x^{3}+4,\;4y^{3}+4,\;4z^{3}+4),
e resolver \nabla f_{\text{ex}}=\mathbf{0}
x^{3}=-1,\;y^{3}=-1,\;z^{3}=-1 \implies x=y=z=-1.
A Hessiana é diagonal com entradas 12x^{2},12y^{2},12z^{2}. Avaliando em (-1,-1,-1) dá diagonal (12,12,12), todos positivos, portanto a Hessiana é definida positiva e o ponto é um mínimo local. Isso ilustra o tipo de passos que eu seguiria se a expressão completa estivesse disponível.

Passo 9

O que falta para eu dar a resposta final completa no seu exercício: a parte da função que vem depois do último + no enunciado. Com essa informação eu aplico automaticamente os passos que descrevi (calcular gradiente completo, resolver o sistema, formar a Hessiana completa e aplicar o teste) e te entrego os pontos críticos e suas classificações, com todas as contas explicadas passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar os pontos críticos nem classificá‑los porque a expressão de f(x,y,z) está incompleta (falta o termo após o último +).

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