Use um polinômio linear para calcular aproximadamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular aproximadamente o produto
usando um polinômio linear.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número dentro da raiz cúbica é
. - O número dentro da raiz quadrada é
. - Queremos uma aproximação usando um polinômio linear (linearização) — a técnica de aproximar uma função por sua reta tangente numa vizinhança de um ponto conhecido.
Passo 2
Escolhemos pontos próximos e fáceis para expandir:
para a raiz cúbica e
para a raiz quadrada, porque
e
.\n
Definimos a função de duas variáveis
Definimos a função de duas variáveis
de modo que queremos
(aqui escrevo os valores como
).\n
O polinômio linear (linearização) de em torno do ponto
é
O polinômio linear (linearização) de
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculamos
e as derivadas parciais em
.\n
Primeiro,
Primeiro,
Agora as derivadas parciais:
Avaliam-se em
. Note que
,
,
,
. Então
Passo 4
Calculamos os deslocamentos
e
:
Substituímos tudo em
:
Passo 5
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Esta é a aproximação obtida pelo polinômio linear. Note que descartamos termos de ordem superior (produtos e quadrados dos deslocamentos), que são muito pequenos aqui (da ordem de
), então a aproximação é muito boa.