Use um polinômio linear para calcular aproximadamente.
\sqrt[3]{26,98} \sqrt{36,04}

Passo 1

O enunciado pede para calcular aproximadamente o produto \sqrt[3]{26,98}\sqrt{36,04} usando um polinômio linear.\n
Informações dadas:
  • O número dentro da raiz cúbica é \,26,98.
  • O número dentro da raiz quadrada é \,36,04.
  • Queremos uma aproximação usando um polinômio linear (linearização) — a técnica de aproximar uma função por sua reta tangente numa vizinhança de um ponto conhecido.

Passo 2

Escolhemos pontos próximos e fáceis para expandir: \,27 para a raiz cúbica e \,36 para a raiz quadrada, porque \sqrt[3]{27}=3 e \sqrt{36}=6.\n
Definimos a função de duas variáveis
F(u,v)=u^{1/3}\,v^{1/2},
de modo que queremos F(26,98,\,36,04) (aqui escrevo os valores como (u,v)=(26,98,36,04)).\n
O polinômio linear (linearização) de F em torno do ponto (u_0,v_0)=(27,36) é
L(u,v)=F(u_0,v_0)+F_u(u_0,v_0)\,(u-u_0)+F_v(u_0,v_0)\,(v-v_0),
onde F_u e F_v são as derivadas parciais de F em relação a u e v.

Passo 3

Calculamos F(u_0,v_0) e as derivadas parciais em (27,36).\n
Primeiro,
F(27,36)=\sqrt[3]{27}\sqrt{36}=3\cdot 6=18.
Agora as derivadas parciais:
F_u(u,v)=\frac{1}{3}u^{-2/3}v^{1/2},
F_v(u,v)=\frac{1}{2}u^{1/3}v^{-1/2}.
Avaliam-se em (27,36). Note que \sqrt[3]{27}=3, 27^{-2/3}=(\sqrt[3]{27})^{-2}=3^{-2}=\frac{1}{9}, \sqrt{36}=6, 36^{-1/2}=\frac{1}{6}. Então
F_u(27,36)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{9}\cdot 6=\frac{6}{27}=\frac{2}{9},
F_v(27,36)=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Calculamos os deslocamentos (u-u_0) e (v-v_0):
u-u_0=26,98-27=-0,02,
v-v_0=36,04-36=0,04.
Substituímos tudo em L(u,v):
L(26,98,36,04)=18+ \frac{2}{9}\cdot(-0,02)+\frac{1}{4}\cdot 0,04.

Passo 5

Fazendo as contas passo a passo:
\frac{2}{9}\cdot(-0,02)=-\frac{0,04}{9}\approx -0,004444444\ldots,
\frac{1}{4}\cdot 0,04=0,01.
Somando:
18-0,004444444\ldots+0,01=18+0,005555555\ldots=18,005555555\ldots
Esta é a aproximação obtida pelo polinômio linear. Note que descartamos termos de ordem superior (produtos e quadrados dos deslocamentos), que são muito pequenos aqui (da ordem de 10^{-6}), então a aproximação é muito boa.

Resposta

\,18,00556

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