Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \left\{S_{n}\right\}, e obtenha uma fórmula para a sequência de somas parciais em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{S_n\} da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{\,n-1}},
uma fórmula geral para S_n e a verificação de convergência (com soma, se convergente). O conteúdo aqui é série geométrica, cuja soma parcial e critério de convergência são padrão.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
a_n = \frac{2}{5^{\,n-1}} = 2\bigl(\tfrac15\bigr)^{n-1}.
Isto mostra que é uma série geométrica com primeiro termo
a = 2\bigl(\tfrac15\bigr)^{0} = 2
e razão
r = \tfrac15.

Passo 3

Para calcular os quatro primeiros S_n=\sum_{k=1}^n a_k, basta somar termo a termo:
S_1 = 2,
S_2 = 2 + \tfrac{2}{5} = \tfrac{12}{5},
S_3 = 2 + \tfrac{2}{5} + \tfrac{2}{25} = \tfrac{62}{25},
S_4 = 2 + \tfrac{2}{5} + \tfrac{2}{25} + \tfrac{2}{125} = \tfrac{312}{125}.

Passo 4

A soma parcial de uma geométrica é
S_n = a\,\frac{1-r^n}{1-r}.
Substituindo a=2 e r=\tfrac15,
S_n = 2\,\frac{1-(\tfrac15)^n}{1-\tfrac15} = 2\,\frac{1-(\tfrac15)^n}{\tfrac45} = \frac{5}{2}\bigl(1-(\tfrac15)^n\bigr).

Passo 5

Como \lvert r\rvert = \tfrac15<1, a série converge. O limite das somas parciais é
\lim_{n\to\infty}S_n = \frac{5}{2}\bigl(1-0\bigr) = \frac{5}{2}.

Resposta

S_1 = 2
S_2 = \tfrac{12}{5}
S_3 = \tfrac{62}{25}
S_4 = \tfrac{312}{125}
S_n = \dfrac{5}{2}\bigl(1-(\tfrac15)^n\bigr)
A série é convergente e sua soma é \tfrac{5}{2}.

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