Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, e obtenha uma fórmula para a sequência de somas parciais em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
da série
uma fórmula geral para
e a verificação de convergência (com soma, se convergente). O conteúdo aqui é série geométrica, cuja soma parcial e critério de convergência são padrão.
Passo 2
Identificamos o termo geral da série como
Isto mostra que é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
Passo 3
Para calcular os quatro primeiros
, basta somar termo a termo:
,
,
,
Passo 4
A soma parcial de uma geométrica é
Substituindo
e
,
Passo 5
Como
, a série converge. O limite das somas parciais é
Resposta
A série é convergente e sua soma é