Seja a sequência de somas parciais de uma série S_{n}=5-\frac{3}{n}. A série \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} converge? Se sim, qual é a sua soma?

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de somas parciais
S_n = 5 - \frac{3}{n}
de uma série \sum_{k=1}^{\infty}a_k. O objetivo é analisar se essa série converge e, em caso afirmativo, determinar sua soma. Para isso, usamos o fato de que uma série converge exatamente quando sua sequência de somas parciais tem limite finito, e esse limite é a soma da série.

Passo 2

Calculamos o limite de S_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(5 - \frac{3}{n}\Bigr) = 5 - 0 = 5.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}S_n = 5 existe e é finito, concluímos que a série \sum_{k=1}^{\infty}a_k converge. A soma da série é justamente esse limite.

Resposta

A série converge e sua soma é 5.

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