Seja
. Determine se a série associada
converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência de somatórios parciais
que corresponde aos termos parciais de uma série numérica
. A tarefa é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar a ideia de série telescópica, em que
Passo 2
Calculamos o termo geral
como diferença dos somatórios consecutivos:
Usando propriedade dos logaritmos, obtemos
Passo 3
Agora analisamos a soma parcial da série. Pelo método telescópico, temos
Quase todos os termos internos se cancelam, sobrando
Passo 4
Para que a série convergisse, o limite das somas parciais deveria ser finito. Porém,
Portanto, a série não converge.
Resposta
A série diverge.