Seja S_{n}=\ln (n+1). Determine se a série associada \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de somatórios parciais
S_{n} = \ln(n+1),
que corresponde aos termos parciais de uma série numérica \sum_{k=1}^{\infty}a_k. A tarefa é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar a ideia de série telescópica, em que
a_k = S_k - S_{k-1}.

Passo 2

Calculamos o termo geral a_k como diferença dos somatórios consecutivos:
a_k = S_k - S_{k-1} = \ln(k+1) - \ln(k).
Usando propriedade dos logaritmos, obtemos
a_k = \ln\bigl(\tfrac{k+1}{k}\bigr) = \ln\bigl(1 + \tfrac1k\bigr).

Passo 3

Agora analisamos a soma parcial da série. Pelo método telescópico, temos
\sum_{k=1}^{n}a_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl[\ln(k+1)-\ln(k)\bigr] = \bigl[\ln(2)-\ln(1)\bigr] + \bigl[\ln(3)-\ln(2)\bigr] + \cdots + \bigl[\ln(n+1)-\ln(n)\bigr].
Quase todos os termos internos se cancelam, sobrando
\sum_{k=1}^{n}a_k = \ln(n+1) - \ln(1) = \ln(n+1).

Passo 4

Para que a série convergisse, o limite das somas parciais deveria ser finito. Porém,
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k = \lim_{n\to\infty}\ln(n+1) = +\infty.
Portanto, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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