Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O que é pedido: encontrar a solução geral da EDO (não foram fornecidas condições iniciais, portanto vou apresentar a solução geral com constantes arbitrárias).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: .
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes uma abordagem padrão é procurar soluções da forma exponencial
. Isso funciona porque derivadas de uma exponencial produzem fatores constantes que podem ser agrupados, transformando a EDO numa equação algébrica para
(a chamada equação característica). Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Substituindo
na EDO temos
e
. Colocando na equação:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática. Calculo o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. As raízes são
Vou chamar
e
, ou seja
.
Passo 5
Regra importante (mini-aula): se a equação característica dá raízes complexas conjugadas
com
, então a solução geral real da EDO é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. A intuição rápida: as partes real e imaginária de
são soluções reais independentes.
Aplicando com
e
, obtemos a solução geral
Passo 6
Como complemento prático (como usar na prova): se fossem dadas condições iniciais, por exemplo
e
, dá para encontrar
e
facilmente. Avaliando em
:
Derivando a solução geral e avaliando em
obtém-se
No caso desta equação,
e
, logo
Assim, com condições iniciais os passos na prova são: (i) obter
pela avaliação em
; (ii) derivar
, avaliar em
e resolver para
.
Passo 7
Interpretação física/qualitativa rápida: a parte exponencial
decai com
(porque
), enquanto os termos trigonométricos introduzem oscilações com frequência angular
. Logo são oscilações amortecidas.