Resolva as EDO’s e os PVI’s:
8 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
8\,y''+12\,y'+5\,y=0.
O que é pedido: encontrar a solução geral da EDO (não foram fornecidas condições iniciais, portanto vou apresentar a solução geral com constantes arbitrárias).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • coeficiente de y'': 8,
  • coeficiente de y': 12,
  • coeficiente de y: 5.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes uma abordagem padrão é procurar soluções da forma exponencial y(x)=e^{r x}. Isso funciona porque derivadas de uma exponencial produzem fatores constantes que podem ser agrupados, transformando a EDO numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Substituindo y(x)=e^{r x} na EDO temos y' = r e^{r x} e y'' = r^2 e^{r x}. Colocando na equação:
8(r^2 e^{r x})+12(r e^{r x})+5(e^{r x})=0.
Como e^{r x}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica:
8r^2+12r+5=0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática. Calculo o discriminante:
\Delta = 12^2 - 4\cdot 8\cdot 5 = 144 - 160 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. As raízes são
r=\frac{-12\pm\sqrt{-16}}{2\cdot 8}=\frac{-12\pm 4i}{16}=-\frac{3}{4}\pm \frac{i}{4}.
Vou chamar \alpha=-\dfrac{3}{4} e \beta=\dfrac{1}{4}, ou seja r=\alpha\pm i\beta.

Passo 5

Regra importante (mini-aula): se a equação característica dá raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta com \beta\neq0, então a solução geral real da EDO é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. A intuição rápida: as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x) são soluções reais independentes.
Aplicando com \alpha=-\dfrac{3}{4} e \beta=\dfrac{1}{4}, obtemos a solução geral
y(x)=e^{-\tfrac{3}{4}x}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{1}{4}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{1}{4}x\big)\Big).

Passo 6

Como complemento prático (como usar na prova): se fossem dadas condições iniciais, por exemplo y(0)=y_0 e y'(0)=y_1, dá para encontrar C_1 e C_2 facilmente. Avaliando em x=0:
y(0)=C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=y_0.
Derivando a solução geral e avaliando em 0 obtém-se
y'(0)=\alpha C_1+\beta C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2=\frac{y_1-\alpha y_0}{\beta}.
No caso desta equação, \alpha=-\tfrac{3}{4} e \beta=\tfrac{1}{4}, logo
C_2=4y_1+3y_0.
Assim, com condições iniciais os passos na prova são: (i) obter C_1 pela avaliação em 0; (ii) derivar y, avaliar em 0 e resolver para C_2.

Passo 7

Interpretação física/qualitativa rápida: a parte exponencial e^{-\tfrac{3}{4}x} decai com x (porque \alpha<0), enquanto os termos trigonométricos introduzem oscilações com frequência angular \beta=\tfrac{1}{4}. Logo são oscilações amortecidas.

Resposta

y(x)=e^{-\tfrac{3}{4}x}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{1}{4}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{1}{4}x\big)\Big)

Exercícios relacionados