Nos itens abaixo, faça o seguinte:
i) Determine o gradiente de
;
ii) Calcule o gradiente de
no ponto
iii) Calcule a derivada direcional de
em
na direção do vetor
(a)
(b)
(c)
i) Determine o gradiente de
ii) Calcule o gradiente de
iii) Calcule a derivada direcional de
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado nos pede, para cada função
dada em (a), (b) e (c):
- Determinar o gradiente
. - Avaliar
no ponto . - Calcular a derivada direcional de
em na direção do vetor unitário .
O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Vamos usar:
– .
– Derivada direcional .
–
– Derivada direcional
Passo 2
Definição do gradiente: se
é função de
(ou
), então
Passo 3
Definição da derivada direcional: para vetor unitário
,
Passo 4
(a)
,
,
.
Cálculo das derivadas parciais:
Cálculo das derivadas parciais:
Logo,
Em
:
Derivada direcional:
Passo 5
(b)
,
,
.
Derivadas parciais:
Derivadas parciais:
Assim,
Em
:
Derivada direcional:
Passo 6
(c)
,
,
.
Derivadas parciais:
Derivadas parciais:
Logo,
Em
, temos
, então
Derivada direcional:
Resposta
(a)
i)
ii)
iii) (b)
i)
ii)
iii) (c)
i)
ii)
iii)
i)
ii)
iii)
i)
ii)
iii)
i)
ii)
iii)