Em um circuito contendo apenas um resistor e um indutor, as expressões para a tensão e para a corrente são:
\begin{aligned} & v(t)=100 e^{-80 t}(V), \text { para } t \geq 0^{+} ; \\\ & i(t)=4 e^{-80 t}(A), \text { para } t \geq 0 ; \end{aligned}
a. Determine R;
b. Determine L;
c. Determine a constante de tempo do circuito;
d. Quanto tempo (em ms) é necessário para que 80 \% da energia armazenada no indutor seja dissipada?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série formado por um resistor R e um indutor L. Foi fornecida a tensão no resistor
v(t)=100\,e^{-80t}\quad(V)
e a corrente no circuito
i(t)=4\,e^{-80t}\quad(A)
para t\ge0. Nosso objetivo é:
• usar a Lei de Ohm v_R=R\,i para achar R;
• usar o decaimento exponencial i(t)=I_0 e^{-Rt/L} para achar L;
• achar a constante de tempo \tau=L/R;
• determinar o tempo para que 80\% da energia no indutor seja dissipada (isto é, reste 20\% da energia inicial).

Passo 2

Aplicando a Lei de Ohm ao resistor, temos para todo t:
v(t)=R\,i(t).
Logo
R=\frac{v(t)}{i(t)} =\frac{100\,e^{-80t}}{4\,e^{-80t}} =\frac{100}{4} =25\;(\Omega).

Passo 3

Na descarga de um circuito RL série, a corrente satisfaz
i(t)=I_0\,e^{-\,\frac{R}{L}\,t}.
Comparando o expoente -\tfrac{R}{L} com o dado -80, obtemos
\frac{R}{L}=80 \quad\Longrightarrow\quad L=\frac{R}{80} =\frac{25}{80} =0{,}3125\;(\text{H}).

Passo 4

A constante de tempo do circuito é
\tau=\frac{L}{R} =\frac{0{,}3125}{25} =0{,}0125\;(\text{s}) =12{,}5\;\text{ms}.

Passo 5

A energia armazenada no indutor é
w(t)=\tfrac12\,L\,[i(t)]^2 =\tfrac12\,L\,(4\,e^{-80t})^2 =8\,L\,e^{-160t}.
O valor inicial é w(0)=8L. Para dissipar 80\%, sobra 20\%, ou seja
w(t)=0{,}2\,w(0) \quad\Longrightarrow\quad 8\,L\,e^{-160t}=0{,}2\,(8\,L) \quad\Longrightarrow\quad e^{-160t}=0{,}2.
Tomando logaritmo:
-160\,t=\ln(0{,}2) \quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{\ln(0{,}2)}{160} \approx0{,}01006\;\text{s} =10{,}06\;\text{ms}.

Resposta

a. R=25\;\Omega
b. L=0{,}3125\;\mathrm H
c. \tau=12{,}5\;\mathrm{ms}
d. t\approx10{,}06\;\mathrm{ms}

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