Em cada caso, resolva-a usando a substituição v=y^{1-n}
y^{\prime}=r y-k y^{2}, r>0 e k>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = r\,y - k\,y^2,\quad r>0,\;k>0
usando a substituição típica para equações de Bernoulli, ou seja
v = y^{\,1-n}.
Aqui identificamos que se trata de uma Bernoulli com expoente n=2.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão de Bernoulli
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n.
Reescrevendo
y' - r\,y = -\,k\,y^2,
vemos que P(x)=-r, Q(x)=-k e n=2.

Passo 3

Aplicamos a substituição
v = y^{1-2} = y^{-1}.
Isso transforma a equação não-linear em uma linear para v(x).

Passo 4

Calculamos a derivada de v:
v = \frac1y \quad\Longrightarrow\quad v' = -\frac{y'}{y^2}.

Passo 5

Substituímos y' = r\,y - k\,y^2 em v':
v' = -\frac{r\,y - k\,y^2}{y^2} = -\,r\,\frac y{y^2} + k\,\frac{y^2}{y^2} = -\,r\,v + k.
Assim obtemos a equação linear
v' + r\,v = k.

Passo 6

Para resolver
v' + r\,v = k
usamos fator integrante \mu(x)=e^{\int r\,dx}=e^{r x}. Multiplicando tudo por e^{r x}
\frac{d}{dx}\bigl(e^{r x}v\bigr) = k\,e^{r x}.

Passo 7

Integramos ambos os lados:
e^{r x}v = \int k\,e^{r x}\,dx + C = \frac{k}{r}\,e^{r x} + C,
portanto
v(x) = \frac{k}{r} + C\,e^{-r x}.

Passo 8

Voltando à variável original y = 1/v, obtemos
y(x) = \frac{1}{\dfrac{k}{r} + C\,e^{-r x}} = \frac{r}{k + C\,r\,e^{-r x}}.

Resposta

A solução geral da equação
y' = r\,y - k\,y^2
é
\boxed{y(x) = \frac{r}{\,k + A\,e^{-r x}\!}\,,}
onde A é constante arbitrária de integração.

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