Mostre que a transformada de Laplace da equação diferencial
com condições iniciais
e
tem a seguinte solução:
onde
representa a transformada de Laplace da função
.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma equação diferencial de 2º ordem:
com as condições iniciais
O que queremos mostrar é que, se a gente aplicar a transformada de Laplace em tudo, a solução em domínio de
fica
onde
Para isso a gente vai precisar lembrar da definição básica da transformada de Laplace e, em especial, da propriedade de derivadas:
Passo 2
Vamos aplicar
em cada termo da equação
- Em
, pela propriedade de derivada:
- Em
, pela linearidade:
- No lado direito,
.
Então a transformada da equação fica
Passo 3
Agora é só recolher os termos que têm
:
Por fim, dividimos tudo por
: