Mostre que a transformada de Laplace da equação diferencial
ddoty(t)+omega^2 y(t)=r(t)
com condições iniciais y(0)=a e doty(0)=b tem a seguinte solução:
Y(s)=a s+bs^2+omega^2+R(s)s^2+omega^2,
onde R(s) representa a transformada de Laplace da função r(t).

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma equação diferencial de 2º ordem:
ddot y(t) + omega^2,y(t) = r(t)
com as condições iniciais
y(0)=a, dot y(0)=b
O que queremos mostrar é que, se a gente aplicar a transformada de Laplace em tudo, a solução em domínio de Y(s)=a,s + bs^2 + omega^2 ;+;R(s)s^2 + omega^2, fica
Ldot y(t)=s,Y(s)-y(0), Lddot y(t)=s^2,Y(s)-s,y(0)-dot y(0)
onde e
Para isso a gente vai precisar lembrar da definição básica da transformada de Laplace e, em especial, da propriedade de derivadas:

Passo 2

Vamos aplicar ddot y(t) + omega^2,y(t) = r(t) em cada termo da equação
Lddot y(t) = s^2,Y(s) - s,y(0) - dot y(0) = s^2,Y(s) - s,a - b
  1. Em Lomega^2,y(t) = omega^2,Ly(t) = omega^2,Y(s) , pela propriedade de derivada:
l(s^2,Y(s)-s,a - br) ;+;omega^2,Y(s) ;=;R(s)
  1. Em , pela linearidade:
  1. No lado direito, .
Então a transformada da equação fica

Passo 3

Agora é só recolher os termos que têm s^2,Y(s)+omega^2,Y(s) - s,a - b = R(s) Longrightarrow l(s^2 + omega^2r),Y(s) = s,a + b + R(s) :
Y(s) = s,a + bs^2+omega^2 ;+; R(s)s^2+omega^2
Por fim, dividimos tudo por :

Resposta

boxed Y(s) = a,s + bs^2 + omega^2 ;+; R(s)s^2 + omega^2

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