Nos itens abaixo, uma partícula move-se ao longo da curva com equações dadas, onde t segundos é o tempo. Encontre: o vetor velocidade V(t), o vetor aceleração A(t) e a velocidade escalar em t=t_{1}.
R(t)=\ln (t+2) i+\frac{1}{3} t^{2} j \quad ; \quad t_{1}=1

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: a posição da partícula é
R(t)=\ln(t+2)\,\mathbf{i}+\frac{1}{3}t^{2}\,\mathbf{j},
e o instante pedido é t_{1}=1. O que precisamos encontrar:
  1. o vetor velocidade V(t), 2) o vetor aceleração A(t) e 3) a velocidade escalar (ou rapidez) no instante t=t_{1}.

Passo 2

O que é o vetor velocidade e como obtê‑lo: o vetor velocidade V(t) é a derivada do vetor posição R(t) em relação ao tempo, ou seja V(t)=\dfrac{dR}{dt}. Derivamos componente a componente porque \mathbf{i} e \mathbf{j} são direções independentes. Relembre as regras que vamos usar:
  • Derivada de \ln(u) em relação a t é \dfrac{u'}{u}.
  • Derivada de t^{2} é 2t.
    Aqui u(t)=t+2 tem derivada u'(t)=1.

Passo 3

Derivando cada componente:
  • Primeira componente: \dfrac{d}{dt}\big(\ln(t+2)\big)=\dfrac{1}{t+2}.
  • Segunda componente: \dfrac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{3}t^{2}\right)=\frac{1}{3}\cdot 2t=\frac{2t}{3}.
    Portanto o vetor velocidade é
V(t)=\frac{1}{t+2}\,\mathbf{i}+\frac{2t}{3}\,\mathbf{j}.

Passo 4

Comentário físico curto e incentivo: V(t) aponta na direção do movimento e suas componentes dizem quanto a posição muda por segundo em cada eixo. Ótimo — já temos V(t), vamos à aceleração!

Passo 5

O vetor aceleração A(t) é a derivada de V(t): A(t)=\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{d^{2}R}{dt^{2}}. Derivamos novamente componente a componente. Relembre a regra usada: derivada de \dfrac{1}{t+2} é -\dfrac{1}{(t+2)^{2}} (porque \dfrac{d}{dt}(t+2)^{-1}=-(t+2)^{-2}), e derivada de \dfrac{2t}{3} é \dfrac{2}{3}.

Passo 6

Calculando as derivadas:
  • \dfrac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t+2}\right)=-\frac{1}{(t+2)^{2}}.
  • \dfrac{d}{dt}\!\left(\frac{2t}{3}\right)=\frac{2}{3}.
    Logo
A(t)=-\frac{1}{(t+2)^{2}}\,\mathbf{i}+\frac{2}{3}\,\mathbf{j}.

Passo 7

Agora a velocidade escalar (rapidez) em t=t_{1}: a velocidade escalar é o módulo do vetor velocidade, dado por
\text{rapidez}(t)=\|V(t)\|=\sqrt{\left(\frac{1}{t+2}\right)^{2}+\left(\frac{2t}{3}\right)^{2}}.
Substituímos t=1:
  • \dfrac{1}{t+2} em t=1 vale \dfrac{1}{3}.
  • \dfrac{2t}{3} em t=1 vale \dfrac{2}{3}.
    Então
\|V(1)\|=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}.

Resposta

V(t)=\dfrac{1}{t+2}\,\mathbf{i}+\dfrac{2t}{3}\,\mathbf{j}
A(t)=-\dfrac{1}{(t+2)^{2}}\,\mathbf{i}+\dfrac{2}{3}\,\mathbf{j}
\|V(1)\|=\dfrac{\sqrt{5}}{3}

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