Nos itens abaixo, uma partícula move-se ao longo da curva com equações dadas, onde
segundos é o tempo. Encontre: o vetor velocidade
, o vetor aceleração
e a velocidade escalar em
.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: a posição da partícula é
e o instante pedido é
. O que precisamos encontrar:
- o vetor velocidade
, 2) o vetor aceleração e 3) a velocidade escalar (ou rapidez) no instante .
Passo 2
O que é o vetor velocidade e como obtê‑lo: o vetor velocidade
é a derivada do vetor posição
em relação ao tempo, ou seja
. Derivamos componente a componente porque
e
são direções independentes. Relembre as regras que vamos usar:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é .
Aquitem derivada .
Passo 3
Derivando cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
Portanto o vetor velocidade é
Passo 4
Comentário físico curto e incentivo:
aponta na direção do movimento e suas componentes dizem quanto a posição muda por segundo em cada eixo. Ótimo — já temos
, vamos à aceleração!
Passo 5
O vetor aceleração
é a derivada de
:
. Derivamos novamente componente a componente. Relembre a regra usada: derivada de
é
(porque
), e derivada de
é
.
Passo 6
Calculando as derivadas:
-
-
Logo
Passo 7
Agora a velocidade escalar (rapidez) em
: a velocidade escalar é o módulo do vetor velocidade, dado por
Substituímos
:
-
em vale . -
em vale .
Então