Nos itens abaixo, resolva a EDO de 1a ordem dada, utilizando séries de potências. Quando possível, identifique as funções elementares que correspondem a tais séries.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial de primeira ordem
utilizando séries de potências. Informações relevantes fornecidas:
- A equação é homogênea e linear de 1ª ordem.
- Não foi dada condição inicial, então buscamos a solução geral (com constante arbitrária).
- O método exigido é desenvolver
como série de potências centrada em (série de Maclaurin) e determinar os coeficientes.
Passo 2
Vamos representar
por uma série de potências centrada em
. Definimos
onde cada
é um coeficiente numérico desconhecido que vamos determinar. Aqui
é o índice da soma que vai de
até infinito;
é o valor constante (que será igual a
).
Agora calculamos a derivada termo a termo da série (isso é permitido dentro do raio de convergência):
Para poder comparar potências iguais de
com a série de
, reindexamos a soma de
trocando
por
. Fazendo isso obtemos uma soma em potências
:
Explicação do reindexamento: na soma original os termos têm
; ao definir
e renomear
por
, cada exponte fica
e o coeficiente correspondente fica
.
Passo 3
Substituímos as séries de
e
na equação diferencial:
Como ambas as somas estão em potências
, podemos combiná-las termo a termo:
Uma série de potências é identicamente zero se, e somente se, todos os coeficientes de
são zero. Logo, para todo
deve valer
Passo 4
Da relação acima isolamos
:
Isto fornece uma recorrência que determina todos os
a partir de
. Vamos calcular os primeiros coeficientes explicitamente para ver o padrão:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Pelo padrão e por indução obtemos, para todo
,
Indução rápida: caso base
é trivial. Se
, então
.
Passo 5
Substituindo os coeficientes encontrados na série de
obtemos
A série
é exatamente a série de Taylor (Maclaurin) da função exponencial
. Portanto podemos identificar:
Aqui
é uma constante arbitrária que coincide com
(pois
).
Passo 6
Comentários finais didáticos e úteis para a prova:
- A série de potências usada tem raio de convergência infinito (a série de
converge para todo ), então a solução é válida para todos . - Se for dada uma condição inicial
, basta escolher e a solução fica . - Este procedimento (assumir uma série, derivar termo a termo, igualar coeficientes) é a receita padrão para resolver EDOs por séries de potências e serve mesmo quando não há solução elementar conhecida; aqui tivemos a sorte de reconhecer
.