Nos itens abaixo, resolva a EDO de 1a ordem dada, utilizando séries de potências. Quando possível, identifique as funções elementares que correspondem a tais séries.
y^{\prime}(x)-y(x)=0

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'(x)-y(x)=0
utilizando séries de potências. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é homogênea e linear de 1ª ordem.
  • Não foi dada condição inicial, então buscamos a solução geral (com constante arbitrária).
  • O método exigido é desenvolver y(x) como série de potências centrada em x=0 (série de Maclaurin) e determinar os coeficientes.

Passo 2

Vamos representar y(x) por uma série de potências centrada em 0. Definimos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde cada a_n é um coeficiente numérico desconhecido que vamos determinar. Aqui n é o índice da soma que vai de 0 até infinito; a_0 é o valor constante (que será igual a y(0)).
Agora calculamos a derivada termo a termo da série (isso é permitido dentro do raio de convergência):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{\,n-1}.
Para poder comparar potências iguais de x com a série de y(x), reindexamos a soma de y'(x) trocando n por n+1. Fazendo isso obtemos uma soma em potências x^n:
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n.
Explicação do reindexamento: na soma original os termos têm x^{n-1}; ao definir m=n-1 e renomear m por n, cada exponte fica x^n e o coeficiente correspondente fica (n+1)a_{n+1}.

Passo 3

Substituímos as séries de y'(x) e y(x) na equação diferencial:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n \;-\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;=\; 0.
Como ambas as somas estão em potências x^n, podemos combiná-las termo a termo:
\sum_{n=0}^{\infty} \big((n+1)a_{n+1}-a_n\big) x^n \;=\; 0.
Uma série de potências é identicamente zero se, e somente se, todos os coeficientes de x^n são zero. Logo, para todo n\ge0 deve valer
(n+1)a_{n+1}-a_n=0.

Passo 4

Da relação acima isolamos a_{n+1}:
a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1},\qquad n\ge0.
Isto fornece uma recorrência que determina todos os a_n a partir de a_0. Vamos calcular os primeiros coeficientes explicitamente para ver o padrão:
  • Para n=0: a_1=\dfrac{a_0}{1}=a_0.
  • Para n=1: a_2=\dfrac{a_1}{2}=\dfrac{a_0}{2}.
  • Para n=2: a_3=\dfrac{a_2}{3}=\dfrac{a_0}{2\cdot3}=\dfrac{a_0}{3!}.
  • Para n=3: a_4=\dfrac{a_3}{4}=\dfrac{a_0}{4!}.
Pelo padrão e por indução obtemos, para todo n\ge0,
a_n=\frac{a_0}{n!}.
Indução rápida: caso base n=0 é trivial. Se a_k=a_0/k!, então a_{k+1}=a_k/(k+1)=a_0/(k+1)!.

Passo 5

Substituindo os coeficientes encontrados na série de y(x) obtemos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_0}{n!} x^n = a_0\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.
A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} é exatamente a série de Taylor (Maclaurin) da função exponencial \mathrm{e}^{x}. Portanto podemos identificar:
y(x)=a_0\,\mathrm{e}^{x}.
Aqui a_0 é uma constante arbitrária que coincide com y(0) (pois y(0)=a_0).

Passo 6

Comentários finais didáticos e úteis para a prova:
  • A série de potências usada tem raio de convergência infinito (a série de e^x converge para todo x), então a solução é válida para todos x\in\mathbb{R}.
  • Se for dada uma condição inicial y(0)=y_0, basta escolher a_0=y_0 e a solução fica y(x)=y_0\,\mathrm{e}^{x}.
  • Este procedimento (assumir uma série, derivar termo a termo, igualar coeficientes) é a receita padrão para resolver EDOs por séries de potências e serve mesmo quando não há solução elementar conhecida; aqui tivemos a sorte de reconhecer e^x.

Resposta

y(x)=C\,\mathrm{e}^{x}

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