Nos itens abaixo, resolva a EDO de 1a ordem dada, utilizando séries de potências. Quando possível, identifique as funções elementares que correspondem a tais séries.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem pela técnica de séries de potências e, quando possível, identificar a função elementar correspondente.
Informações dadas:
- A equação é
- Não foram dadas condições iniciais; portanto espera-se a solução geral com constante arbitrária.
O que é pedido:
- Encontrar uma solução em série de potências centrada em
(série de Maclaurin). - Se for possível, reconhecer a série e escrever a solução em termos de uma função elementar.
Passo 2
Vou assumir uma solução em série de potências em torno de
. Isto significa colocar
onde
são constantes (coeficientes) a determinar. Aqui
será o valor
se houver condição inicial. A ideia é substituir essa série na EDO e igualar coeficientes de potências de
.
Explicando: representar a solução assim é equivalente a tentar escrever
como uma soma infinita de monômios
. Se a série converge numa vizinhança de 0, ela representa uma função que pode satisfazer a EDO. Vamos calcular
também em série.
Passo 3
Calcular a derivada termo a termo:
Reescrevendo com o mesmo expoente
(mudando o índice) obtém-se
Agora escrever
em série:
Mudar o índice para ter potências
também:
Passo 4
Substituindo
e
na equação
temos
Separe o termo de
na primeira soma porque a segunda soma começa em
. Para
obtemos
logo
Para os coeficientes das potências
com
igualamos os termos correspondentes:
Isto fornece a recorrência
Passo 5
Usando a recorrência vamos ver o que acontece com coeficientes de índices pares e ímpares.
Primeiro, já temos
. Da recorrência para
:
Para
:
Para
:
Observa-se um padrão: todos os coeficientes de índice ímpar são zero (pois
e a recorrência liga
a
), e os coeficientes de índice par satisfazem
com
arbitrário.
Desenvolvendo esse produto recursivo:
A expressão geral é
Note que o produto dos pares até
fatoriza como
portanto
Passo 6
Agora reescrevemos a série solução usando apenas os termos pares (os ímpares são zero):
Factorizando
obtemos
A soma da direita é exatamente a série de Maclaurin da função exponencial:
Portanto a solução geral obtida pela série é
Como não havia condição inicial, renomeando
por
(constante arbitrária), temos a forma usual
(Verificação rápida: diferenciando
dá
, portanto
, ok.)
Passo 7
Comentário didático e incentivo: o método de séries mostrou claramente que só aparecem potências pares e que a soma corresponde à exponencial cujo argumento é
. Em prova, seguir os passos que fiz — assumir série, derivar, alinhar potências, igualar coeficientes e resolver a recorrência — é a receita padrão. Se preferir uma solução mais curta (quando permitido), lembra que essa EDO é linear de primeira ordem e tem fator integrante
, levando à mesma solução
. Vai dar tudo certo — respira, repete esse procedimento umas duas vezes e fica memorizado!