Nos itens abaixo, resolva a EDO de 1a ordem dada, utilizando séries de potências. Quando possível, identifique as funções elementares que correspondem a tais séries.
y^{\prime}(x)=e^{x^{2}} y(x) \quad (apenas 3 termos da série solução)

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'(x)=e^{x^{2}}\,y(x)
usando séries de potências, e devolver apenas 3 termos da série solução. Informações dadas e o que é solicitado:
  • Dado: a EDO y'(x)=e^{x^{2}}y(x).
  • Pedido: encontrar a solução em séries de potências (série de Taylor em torno de x=0) e apresentar apenas os primeiros 3 termos não nulos da série solução.
  • Vamos admitir a constante arbitrária y(0)=C (a condição inicial generalizada), que aparecerá como coeficiente principal da série.

Passo 2

Assumimos uma solução por série de potências em torno de 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n},
onde a_{n} são coeficientes desconhecidos e a_{0}=y(0)=C. Diferenciando termo a termo obtemos
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,a_{n+1}\,x^{n}.
Aqui a instrução foi: representar cada variável e coeficiente; a_{n} é o coeficiente do termo x^{n} em y(x).

Passo 3

Expandimos o fator e^{x^{2}} em série de potências (esta é uma série padrão que se pode obter pela série de e^{t} com t=x^{2}):
e^{x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k!}.
Multiplicando as duas séries (produto Cauchy) temos
e^{x^{2}}y(x)=\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k!}\right)\left(\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{a_{\,n-2k}}{k!}\right)x^{n}.
Expliquei a soma interna: para obter o coeficiente do termo x^{n} no produto, somam-se todos os produtos de a_{m} com o coeficiente de x^{n-m} da série de e^{x^{2}}; como e^{x^{2}} só tem potências pares, os índices aparecem como n-2k.

Passo 4

Agora igualamos termo a termo a série de y'(x) com a série de e^{x^{2}}y(x). Para cada n\ge0 deve valer
(n+1)\,a_{n+1}=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{a_{\,n-2k}}{k!}.
Esta é a relação de recorrência que permitirá calcular a_{1},a_{2},\dots em função de a_{0}. Aqui n é o expoente do termo x^{n}, e o fator (n+1) vem da derivada da série.

Passo 5

Vamos obter os primeiros coeficientes explicitamente, começando por a_{0}=C.
  • Para n=0:
1\cdot a_{1}=\sum_{k=0}^{0}\frac{a_{0}}{k!}=a_{0}\quad\Rightarrow\quad a_{1}=a_{0}.
  • Para n=1:
2\cdot a_{2}=\sum_{k=0}^{0}\frac{a_{1}}{k!}=a_{1}=a_{0}\quad\Rightarrow\quad a_{2}=\frac{a_{0}}{2}.
  • Para n=2:
3\cdot a_{3}=\sum_{k=0}^{1}\frac{a_{2}}{0!}+\frac{a_{0}}{1!}=a_{2}+a_{0}=\frac{a_{0}}{2}+a_{0}=\frac{3a_{0}}{2},
portanto
a_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3a_{0}}{2}=\frac{a_{0}}{2}.
(Se quiser verificar mais termos, continua-se com n=3,4,\dots; aqui já temos os três primeiros coeficientes necessários.)

Passo 6

Reescrevendo a série com os coeficientes encontrados:
y(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots = a_{0}\Bigl(1+x+\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{3}+\cdots\Bigr).
Explicando: a_{0}=C é a constante arbitrária (valor inicial), e os coeficientes calculados são a_{1}=a_{0}, a_{2}=a_{0}/2, a_{3}=a_{0}/2.

Passo 7

Comentário rápido sobre a forma fechada: a EDO é separável, integrando-se obtemos
\ln y=\int e^{x^{2}}\,dx + \text{const}\quad\Rightarrow\quad y=C\exp\!\Bigl(\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt\Bigr).
A integral \int e^{t^{2}}dt não é função elementar, e pode ser escrita usando a função erro imaginária:
\int e^{t^{2}}dt=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(t)+\text{const}.
Assim a solução geral é
y(x)=C\exp\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x)\Bigr),
cuja expansão em série ao redor de 0 coincide com os coeficientes que calculamos acima. Mas como o enunciado pedia série de potências, usamos o método direto para obter os primeiros termos.

Resposta

y(x)=C\bigl(1+x+\tfrac{1}{2}x^{2}+\cdots\bigr)

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