Nos itens abaixo, resolva a EDO de 1a ordem dada, utilizando séries de potências. Quando possível, identifique as funções elementares que correspondem a tais séries.
(apenas 3 termos da série solução)
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem
usando séries de potências, e devolver apenas 3 termos da série solução. Informações dadas e o que é solicitado:
- Dado: a EDO
. - Pedido: encontrar a solução em séries de potências (série de Taylor em torno de
) e apresentar apenas os primeiros 3 termos não nulos da série solução. - Vamos admitir a constante arbitrária
(a condição inicial generalizada), que aparecerá como coeficiente principal da série.
Passo 2
Assumimos uma solução por série de potências em torno de
:
onde
são coeficientes desconhecidos e
. Diferenciando termo a termo obtemos
Aqui a instrução foi: representar cada variável e coeficiente;
é o coeficiente do termo
em
.
Passo 3
Expandimos o fator
em série de potências (esta é uma série padrão que se pode obter pela série de
com
):
Multiplicando as duas séries (produto Cauchy) temos
Expliquei a soma interna: para obter o coeficiente do termo
no produto, somam-se todos os produtos de
com o coeficiente de
da série de
; como
só tem potências pares, os índices aparecem como
.
Passo 4
Agora igualamos termo a termo a série de
com a série de
. Para cada
deve valer
Esta é a relação de recorrência que permitirá calcular
em função de
. Aqui
é o expoente do termo
, e o fator
vem da derivada da série.
Passo 5
Vamos obter os primeiros coeficientes explicitamente, começando por
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
portanto
(Se quiser verificar mais termos, continua-se com
; aqui já temos os três primeiros coeficientes necessários.)
Passo 6
Reescrevendo a série com os coeficientes encontrados:
Explicando:
é a constante arbitrária (valor inicial), e os coeficientes calculados são
,
,
.
Passo 7
Comentário rápido sobre a forma fechada: a EDO é separável, integrando-se obtemos
A integral
não é função elementar, e pode ser escrita usando a função erro imaginária:
Assim a solução geral é
cuja expansão em série ao redor de
coincide com os coeficientes que calculamos acima. Mas como o enunciado pedia série de potências, usamos o método direto para obter os primeiros termos.