Nos itens abaixo, resolva a EDO de 1a ordem dada, utilizando séries de potências. Quando possível, identifique as funções elementares que correspondem a tais séries.
Passo 1
O enunciado pede que se resolva a equação diferencial de primeira ordem
utilizando séries de potências. O que nos é dado:
- A EDO:
. - O lado direito é o polinômio
, logo a força “não homogênea” tem termos apenas em potência . - Não há condições iniciais fornecidas, então a solução geral terá uma constante arbitrária.
O objetivo: obter a solução por séries de potências (mostrar o procedimento passo a passo) e, quando possível, identificar funções elementares que correspondam à série encontrada.
Passo 2
Proponho uma solução por série de potências centrada em
. Ou seja, assumimos que
onde os
são coeficientes a determinar. Explico rapidamente por que essa forma é natural: qualquer função analítica em torno de
pode ser escrita assim; na prova basta lembrar-se de expandir
e suas derivadas e igualar coeficientes de potências iguais de
.
Agora calculemos a derivada em série. Derivando termo a termo obtemos
Para alinhar potências com a série de
, reindexamos colocando as potências em
. Fazendo
no somatório:
Passo 3
Substituímos
e
na EDO. Temos
Como as somas têm a mesma base
, podemos juntar:
O lado direito tem série explícita cuja única contribuição é no termo
. Em termos de coeficientes, o coeficiente de
do lado direito é
com
Passo 4
Igualando coeficientes de
entre os dois lados obtemos a recorrência
ou isolando
,
Isto é a regra para calcular todos os coeficientes a partir de
(que será a constante arbitrária da solução geral). Observação:
.
Passo 5
Vamos calcular alguns coeficientes explicitamente para ver o padrão. Lembre que
para
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Já dá para perceber dois blocos: uma parte que envolve
com denominadores factorial (parece vir de
) e outra parte numérica gerada pelos termos não homogêneos.
Passo 6
Separação em solução homogênea e particular (pela recorrência). Se
(caso homogêneo), a recorrência seria
que dá por indução
Portanto a parte homogênea em série é
Isso mostra que a parte homogênea corresponde à exponencial
multiplicada por uma constante.
Agora procuremos uma solução particular
por séries. Observando que o lado direito é um polinômio de grau
, espera-se uma solução particular polinomial de grau
. Vamos escolher
e determinar
(é um método simples e rápido que coincide com o que a recorrência produz).
Calcule
. Substituindo na EDO:
Reunindo termos por potência:
- termo
: ⇒ . - termo
: . Substituindo dá ⇒ . - termo
: . Substituindo dá ⇒ .
Logo
Verificação rápida:
, certo.
Passo 7
Combinação da homogênea com a particular dá a solução geral:
onde
é constante arbitrária. Agora relacionamos isso com os coeficientes da série: se escrevermos
em série, o termo
tem coeficientes
e
contribui apenas nos coeficientes
e zeros para
. Isso bate com a recorrência: escolhendo
a sequência dada pela recorrência produz a solução particular polinomial; deixando
livre introduz-se a parte homogênea
.
Passo 8
Para confirmar e também ensinar uma forma alternativa (útil em prova), usa-se fator integrante: a EDO linear
tem fator integrante
porque
Integrando ambos os lados:
Calcule a integral por partes (ou lembrar a primitiva):
. Portanto
multiplicando por
:
mesma solução que obtivemos por séries. Isso permite identificar diretamente as funções elementares envolvidas: exponencial e polinômio.