Considere a equação de Legendre
onde
, com
. [Note que se
então a substituição
, com
reproduz a mesma equação de Legendre, porém com o parâmetro
.]
(a) Mostre que duas soluções da equação de Legendre para
são
(b) Mostre que se
é zero ou um número par positivo
então a solução
reduz-se a um polinômio de grau
contendo apenas potências pares de
. Encontre tais polinômios para
.
(c) Mostre que se
é um número inteiro positivo ímpar
, a solução
reduz-se a um polinômio de grau
contendo apenas potências ímpares de
. Encontre tais polinômios para
.
(d) O polinômio de Legendre
é definido como sendo o polinômio-solução da equação de Legendre com
que satisfaz
. Encontre os polinômios de Legendre
.
(a) Mostre que duas soluções da equação de Legendre para
(c) Mostre que se
(d) O polinômio de Legendre
Passo 1
O enunciado dá a equação de Legendre
com
e
. As tarefas são:
(a) mostrar que duas soluções para são as séries dadas
(só potências pares) e
(só potências ímpares);
(b) mostrar que se (número par não-negativo) então
termina e dá um polinômio de grau
; encontrar esses polinômios para
;
(c) mostrar que se (ímpar positivo) então
termina e dá um polinômio de grau
; encontrar esses polinômios para
;
(d) definir como o polinômio solução com
e
e encontrar
.
(a) mostrar que duas soluções para
(b) mostrar que se
(c) mostrar que se
(d) definir
Informações relevantes que usarei: procurar soluções em série de potências centrada em
, obter a recorrência entre coeficientes, separar em soluções par e ímpar e analisar quando a série termina (quando um fator do numerador da recorrência for zero).
Passo 2
Vamos procurar uma solução em série de potências centrada em
:
onde
são constantes a determinar, e tomamos
e
como condições iniciais independentes (duas constantes livres dão duas soluções independentes). Calculemos as derivadas:
Substituindo na equação de Legendre:
Vamos alinhar todas as somas com potências
. Primeiro o termo
dá duas somas:
Mudando índice na primeira soma com
obtemos
As outras duas somas já estão com potências
(trocar
por
para uniformizar):
Agora agrupamos todos os coeficientes de
(para
). Para cada
obtemos a condição
Passo 3
Simplificamos o coeficiente entre colchetes:
Portanto a relação de recorrência fica
ou isolando
,
Podemos reescrever o numerador fatorado:
Assim uma forma muito usada da recorrência é
Isto vale para todo
e relaciona coeficientes de mesma paridade (mesmo
gera
e assim por diante).
Passo 4
Da recorrência vemos que os coeficientes se separam em duas sequências independentes: os
(par) e os
(ímpar). Logo existem duas soluções linearmente independentes: uma com
(série par) e outra com
(série ímpar).
Solução par
: tomar
(normalização conveniente) e
. Aplicando a recorrência repetidamente para índices pares
obtemos para
Portanto, por iteração (produto), para
,
Agora vamos escrever esse produto numa forma equivalente à dada no enunciado. Note que cada fator
e
pode ser agrupado, e o denominador
. Além disso, recolhendo termos numeradores obtemos (após reorganizar fatores) a fórmula
Escolhendo
recuperamos exatamente a série
pedida:
Solução ímpar
: tomar
e
. Para índices ímpares
a recorrência dá
Iterando obtemos, para
,
Reescrevendo o produto e simplificando o denominador
, obtemos a fórmula do enunciado:
Com
isto dá
Isso conclui (a): derivamos a recorrência e mostramos as duas séries indicadas.
Passo 5
Agora explico por que as séries terminam quando
é inteiro não-negativo apropriado.
Observe a forma fatorada da recorrência:
Se algum fator do numerador for zero para um certo
, então
e, pela recorrência repetida, todos os coeficientes posteriores com a mesma paridade também serão zero — a série termina e passa a ser um polinômio.
(b) Caso
(par não-negativo): para a sequência par (solução
) considere o fator
quando
. Para
aparece o fator
, isto implica que
e todos os coeficientes acima também são zero; logo
é um polinômio de grau
envolvendo apenas potências pares. Vamos encontrar os casos pedidos.
-
: usa-se com . O primeiro coeficiente não-nulo além de é
pois
. Assim
(polinômio de grau
).
-
: calculamos ,
e para
a recorrência dá
(termina). Logo
-
: calculamos coeficientes com as fórmulas já obtidas:
e
(termina). Logo
Esses são os polinômios (não normalizados) obtidos a partir de
para
.
Passo 6
(c) Caso
(ímpar positivo): agora a sequência ímpar (solução
) contém no numerador o fator
para certos
ímpares; em particular quando
o fator
, o que força
e termina a série ímpar. Assim
é um polinômio de grau
contendo apenas potências ímpares. Vamos os exemplos pedidos:
-
: então tem e (pois ). Logo
-
: calculamos
e
(termina). Assim
-
: calculamos
e
. Logo
Estes são os polinômios (não normalizados) obtidos a partir de
para
.
Passo 7
(d) Agora obteremos os polinômios de Legendre
, definidos como a solução polinomial com
e normalizada por
.
Para
par usamos
(série par que termina); para
ímpar usamos
. Para cada caso basta dividir o polinômio obtido por seu valor em
para garantir
.
-
: já vimos e . Então
-
: e . Então
-
: e . Para normalizar multiplicamos por :
-
: e . Normalizando por multiplicação por obtemos
-
: . Avaliando em :
Multiplicando por
para normalizar, obtemos
-
: . Avaliando em :
Multiplicando por
para normalizar, obtemos
Esses
são exatamente os polinômios de Legendre usuais até
.
Passo 8
Resumo do que foi mostrado: obtivemos a recorrência entre coeficientes de uma série de potências centrada em
, demonstramos as duas soluções independentes
(par) e
(ímpar) com as formas dadas, argumentámos por que para
inteiro não-negativo a série termina e produzia polinômios, calculámos exemplos pedidos e normalizámos para obter
.
Resposta
(a)
(b) Para
a solução
reduz-se a polinômios:
(c) Para
a solução
reduz-se a polinômios:
(d) Polinômios de Legendre
com
: