1. Nos itens a e b são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
    (a) V=R^2 tal que (a, b)+(c, d)=(a+b, 0) e a multiplicação por escalar usual.
    (b) V=R^2 tal que (a, b)+(c, d)=(a+b, c+d) e lambda(a, b)=(lambda^2 a, lambda^2 b).

Passo 1

O enunciado apresenta dois exemplos de estrutura em V=R^2 com operações diferentes de adição e/ou multiplicação por escalar, e pede para verificar se cada um forma um espaço vetorial. Para isso, lembramos que um espaço vetorial sobre R deve satisfazer, entre outros, os axiomas de existência de elemento neutro para a adição e de duas propriedades distributivas envolvendo escalares.

Passo 2

No item (a) definimos
(a,b)+(c,d)=(a+b,0),
e a multiplicação por escalar é a usual, lambda(a,b)=(lambda a,lambda b).
Procuramos um elemento neutro e=(x,y) tal que
(a,b)+e=(a,b)forall,(a,b)inR^2
Mas
(a,b)+ (x,y)=(a+x,0)=(a,b)
exige x=0 e 0=b para todo b, o que é impossível. Logo não existe vetor nulo. Falha o axioma de existência do elemento neutro da adição.

Passo 3

No item (b) a adição é a usual
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),
e a multiplicação por escalar é
lambda(a,b)=(lambda^2a,lambda^2b)
Verificamos a distributividade de soma de escalares sobre vetores, que exige
(lambda+mu)(a,b)=lambda(a,b)+mu(a,b)
Calculando o lado esquerdo:
(lambda+mu)(a,b)=l((lambda+mu)^2a,(lambda+mu)^2br) =(lambda^2a+2lambdamu a+mu^2a,dots),
e o lado direito:
lambda(a,b)+mu(a,b)=(lambda^2a,lambda^2b)+(mu^2a,mu^2b) =(lambda^2a+mu^2a,lambda^2b+mu^2b)
Os termos 2lambdamu a (e 2lambdamu b) não aparecem no segundo, logo a igualdade não vale em geral. Falha o axioma (lambda+mu)v=lambda v+mu v.

Resposta

a) Não é espaço vetorial, pois não existe elemento neutro da adição.
b) Não é espaço vetorial, pois falha a distributividade (lambda+mu)v=lambda v+mu v.

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