- Nos itens a e b são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(a)
tal que
e a multiplicação por escalar usual.
(b)
tal que
e
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado apresenta dois exemplos de estrutura em
com operações diferentes de adição e/ou multiplicação por escalar, e pede para verificar se cada um forma um espaço vetorial. Para isso, lembramos que um espaço vetorial sobre
deve satisfazer, entre outros, os axiomas de existência de elemento neutro para a adição e de duas propriedades distributivas envolvendo escalares.
Passo 2
No item (a) definimos
e a multiplicação por escalar é a usual,
.
Procuramos um elemento neutro tal que
Procuramos um elemento neutro
Mas
exige
e
para todo
, o que é impossível. Logo não existe vetor nulo. Falha o axioma de existência do elemento neutro da adição.
Passo 3
No item (b) a adição é a usual
e a multiplicação por escalar é
Verificamos a distributividade de soma de escalares sobre vetores, que exige
Calculando o lado esquerdo:
e o lado direito:
Os termos
(e
) não aparecem no segundo, logo a igualdade não vale em geral. Falha o axioma
.
Resposta
a) Não é espaço vetorial, pois não existe elemento neutro da adição.
b) Não é espaço vetorial, pois falha a distributividade .
b) Não é espaço vetorial, pois falha a distributividade