Nos itens seguintes comprovar o teorema de Green calculando ambas integrais,
C é a fronteira da região delimitada pelas curvas
e
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Green na forma
onde
,
, e
é a fronteira orientada positivamente (sentido anti-horário) da região
limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos calcular de dois jeitos: a integral de linha
e a integral dupla
.
Passo 2
Primeiro identificamos os pontos de interseção de
e
. Igualando
vem
, ou seja,
e
. A região
fica entre a parábola
(abaixo) e a reta
(acima), para
. A fronteira
consiste de duas curvas unidas:
Curva : parábola de
a
.
Curva : reta de
de volta a
.
Curva
Curva
Passo 3
Para orientar
no sentido anti-horário (região à esquerda), percorremos primeiro a parábola de
a
e depois a reta de
a
. Assim
Passo 4
Parâmetro de
:
,
,
. Então
e
. Substituindo
Passo 5
Parâmetro de
:
,
, com
variando de
a
. Assim
,
e
Logo
Passo 6
Somando as duas parcelas da integral de linha, obtemos
Passo 7
Agora calculamos a integral dupla. Primeiro
então o integrando é
Na região
temos
e
. Logo
Passo 8
Efetuando a integral interna em
:
Agora em
:
Resposta
Em ambos os lados do Teorema de Green obtém-se
, confirmando a igualdade.