- Sera
a região interior à elipse
e exterior ao círculo
. Calcular a integral de linha
onde
com
orientada no sentido anti-horário e
no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
sobre a curva , onde
é a elipse
sobre a curva
orientada no sentido anti-horário, e
é o círculo
orientado no sentido horário.
O conteúdo a usar é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a região entre essas curvas.
O conteúdo a usar é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a região
Passo 2
Pelo Teorema de Green, se definirmos
então
onde
é a região interior à elipse e exterior ao círculo.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Passo 4
Logo o integrando fica
Portanto
Passo 5
A região
é o interior da elipse de semieixos
e
menos o interior do círculo de raio
. Assim
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