1. Sera D a região interior à elipse C_{1}: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 e exterior ao círculo C_{2}: x^{2}+y^{2}=1. Calcular a integral de linha \oint_{C} 2 x y d x+\left(x^{2}+2 x\right) d y onde C=C_{1} \cup C_{2} com C_{1} orientada no sentido anti-horário e C_{2} no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha \displaystyle \oint_{C}2xy\,dx + (x^2+2x)\,dy
sobre a curva C=C_1\cup C_2, onde C_1 é a elipse
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1
orientada no sentido anti-horário, e C_2 é o círculo
x^2+y^2=1
orientado no sentido horário.
O conteúdo a usar é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a região D entre essas curvas.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se definirmos
P(x,y)=2xy,\quad Q(x,y)=x^2+2x,
então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é a região interior à elipse e exterior ao círculo.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2+2x) =2x+2,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(2xy) =2x.

Passo 4

Logo o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =(2x+2)-2x =2.
Portanto
\oint_{C}2xy\,dx+(x^2+2x)\,dy =\iint_{D}2\,dA =2\iint_{D}1\,dA =2\,\bigl(\text{área de }D\bigr).á

Passo 5

A região D é o interior da elipse de semieixos a=3 e b=2 menos o interior do círculo de raio 1. Assim
\text{área de }D =\pi\cdot a\cdot b \;-\;\pi\cdot1^2 =6\pi-\pi =5\pi.á
Logo
\oint_{C}2xy\,dx+(x^2+2x)\,dy =2\cdot5\pi =10\pi.

Resposta

10\pi

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