Faça uma iteração do método do gradiente ótimo no declive máximo para localizar o mínimo de
usando aproximações iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu execute uma iteração do método do gradiente ótimo (declive máximo) para localizar o mínimo da função
partindo da aproximação inicial
.
Informações dadas:
Informações dadas:
O que se pede:
- Realizar uma iteração do método do gradiente ótimo: calcular a direção de descida (negativo do gradiente), encontrar o passo ótimo
que minimiza ao longo dessa direção, e obter a nova aproximação .
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente de
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais; ele aponta a direção de maior crescimento local da função. Para
definimos:
onde cada derivada parcial trata a outra variável como constante. Agora derivamos termo a termo:
Avaliamo-las no ponto inicial
:
Interpretação: no ponto inicial o gradiente é
; isso indica a direção de maior aumento.
Passo 3
A direção de descida de maior intensidade (declive máximo) é o negativo do gradiente:
Explicação rápida: mover na direção
reduz
mais rapidamente localmente.
Passo 4
Agora fazemos a busca unidimensional ao longo da reta
. Definimos a função de uma variável
Substituímos na expressão de
:
Agora simplificamos termo a termo:
Somando os termos quadráticos e lineares:
Passo 5
Para obter o passo ótimo
minimizamos
. Como
é uma quadrática, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Igualando a zero:
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Passo 6
Atualizamos o ponto com
:
Como verificação rápida, o valor da função caiu de
para
confirmando que houve redução do valor da função.