Faça uma iteração do método do gradiente ótimo no declive máximo para localizar o mínimo de
f(x, y)=-8 x+x^{2}+12 y+4 y^{2}-2 x y
usando aproximações iniciais x=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede que eu execute uma iteração do método do gradiente ótimo (declive máximo) para localizar o mínimo da função
f(x,y)=-8x+x^{2}+12y+4y^{2}-2xy
partindo da aproximação inicial (x,y)=(0,0).
Informações dadas:
\text{Função: }f(x,y)=-8x+x^{2}+12y+4y^{2}-2xy, \qquad \text{ponto inicial: }(x_0,y_0)=(0,0).çã
O que se pede:
  • Realizar uma iteração do método do gradiente ótimo: calcular a direção de descida (negativo do gradiente), encontrar o passo ótimo \alpha^\ast que minimiza f ao longo dessa direção, e obter a nova aproximação (x_1,y_1).

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais; ele aponta a direção de maior crescimento local da função. Para f(x,y) definimos:
\frac{\partial f}{\partial x} = f_x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=f_y,
onde cada derivada parcial trata a outra variável como constante. Agora derivamos termo a termo:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(-8x+x^{2}+12y+4y^{2}-2xy\big) = -8 + 2x - 2y,
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(-8x+x^{2}+12y+4y^{2}-2xy\big) = 12 + 8y - 2x.
Avaliamo-las no ponto inicial (x_0,y_0)=(0,0):
\nabla f(0,0) = \big(f_x(0,0),\,f_y(0,0)\big)=(-8,\,12).
Interpretação: no ponto inicial o gradiente é (-8,12); isso indica a direção de maior aumento.

Passo 3

A direção de descida de maior intensidade (declive máximo) é o negativo do gradiente:
d_0 = -\nabla f(0,0) = -(-8,12) = (8,\,-12).
Explicação rápida: mover na direção d_0 reduz f mais rapidamente localmente.

Passo 4

Agora fazemos a busca unidimensional ao longo da reta (x,y)=(0,0)+\alpha d_0=(8\alpha,-12\alpha). Definimos a função de uma variável
\varphi(\alpha)=f\big(8\alpha,\,-12\alpha\big).
Substituímos na expressão de f:
\varphi(\alpha)=-8(8\alpha)+(8\alpha)^{2}+12(-12\alpha)+4(-12\alpha)^{2}-2(8\alpha)(-12\alpha).
Agora simplificamos termo a termo:
-8(8\alpha)=-64\alpha, \quad (8\alpha)^2=64\alpha^2, \quad 12(-12\alpha)=-144\alpha,
4(-12\alpha)^2=4\cdot144\alpha^2=576\alpha^2, \quad -2(8\alpha)(-12\alpha)=192\alpha^2.
Somando os termos quadráticos e lineares:
\varphi(\alpha)=(64+576+192)\alpha^2+(-64-144)\alpha=832\alpha^2-208\alpha.

Passo 5

Para obter o passo ótimo \alpha^\ast minimizamos \varphi(\alpha). Como \varphi é uma quadrática, derivamos em relação a \alpha e igualamos a zero:
\varphi'(\alpha)=\frac{d}{d\alpha}\big(832\alpha^2-208\alpha\big)=1664\alpha-208.
Igualando a zero:
1664\alpha-208=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha^\ast=\frac{208}{1664}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 16):
\alpha^\ast=\frac{208}{1664}=\frac{13}{104}=\frac{1}{8}.

Passo 6

Atualizamos o ponto com \alpha^\ast=\frac{1}{8}:
(x_1,y_1)=(x_0,y_0)+\alpha^\ast d_0 = (0,0)+\frac{1}{8}(8,-12)=(1,\,-\tfrac{3}{2}).
Como verificação rápida, o valor da função caiu de f(0,0)=0 para
f(1,-\tfrac{3}{2})=-8(1)+1^{2}+12\big(-\tfrac{3}{2}\big)+4\big(-\tfrac{3}{2}\big)^{2}-2(1)\big(-\tfrac{3}{2}\big)=-13,
confirmando que houve redução do valor da função.

Resposta

(x_1,y_1)=\big(1,\,-\tfrac{3}{2}\big)

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