Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} 3 \operatorname{cosec}^{2} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} 3\operatorname{cosec}^{2}2x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 3\operatorname{cosec}^{2}2x.
  • Os limites de integração são x=\frac{\pi}{8} (inferior) e x=\frac{\pi}{4} (superior).
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Entender qual primitiva usar. Vou mostrar uma identidade importante que vamos usar: a derivada de \cot x é -\operatorname{cosec}^{2}x. Isso implica que uma primitiva de \operatorname{cosec}^{2}x é -\cot x.
Demonstração curta da identidade:
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}.
Derivando usando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(-\sin x)\sin x - \cos x \cos x}{\sin^{2}x} = \frac{-\sin^{2}x - \cos^{2}x}{\sin^{2}x} = \frac{-1}{\sin^{2}x} = -\operatorname{cosec}^{2}x.
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(-\cot x\bigr)=\operatorname{cosec}^{2}x,
e portanto
\int \operatorname{cosec}^{2}x\,dx = -\cot x + C.

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia para o argumento 2x. Se \frac{d}{dx}\cot(2x) = -2\operatorname{cosec}^{2}(2x), então
\int \operatorname{cosec}^{2}(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cot(2x) + C.
Como temos um fator 3 multiplicando \operatorname{cosec}^{2}(2x), a primitiva de 3\operatorname{cosec}^{2}(2x) é
3\cdot\left(-\frac{1}{2}\cot(2x)\right) = -\frac{3}{2}\cot(2x).

Passo 4

Escrever a integral definida usando a primitiva encontrada:
\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} 3\operatorname{cosec}^{2}2x\,dx = \left[-\frac{3}{2}\cot(2x)\right]_{x=\frac{\pi}{8}}^{x=\frac{\pi}{4}}.

Passo 5

Calcular \cot(2x) nos extremos:
  • Para x=\frac{\pi}{4} tem-se 2x=\frac{\pi}{2} e \cot\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
  • Para x=\frac{\pi}{8} tem-se 2x=\frac{\pi}{4} e \cot\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.

Passo 6

Avaliar a diferença:
\left[-\frac{3}{2}\cot(2x)\right]_{\,\frac{\pi}{8}}^{\,\frac{\pi}{4}} = -\frac{3}{2}\cot\!\left(\frac{\pi}{2}\right) -\left(-\frac{3}{2}\cot\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\frac{3}{2}\cdot 0 -\left(-\frac{3}{2}\cdot 1\right) = \frac{3}{2}.

Resposta

\frac{3}{2}

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