Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{0}^{\pi} \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Função integranda: \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
  • Intervalo de integração: x vai de 0 até \pi.
    Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Escolha do método: uma substituição simples resolve isso facilmente porque a função tem a forma \cos de uma expressão linear em x. Vamos usar a substituição
u=\frac{x}{2}.
Explico por que isso ajuda: a derivada de \frac{x}{2} em relação a x é \dfrac{1}{2}, então dx se relaciona com du por uma constante, o que transforma a integral em uma forma padrão \int \cos u\,du, cuja antiderivada é conhecida.

Passo 3

Calcule du e troque os limites:
u=\frac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{2}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=2\,du.
Mudar os limites:
x=0 \Rightarrow u=0,\qquad x=\pi \Rightarrow u=\frac{\pi}{2}.
Substituindo na integral original:
\int_{0}^{\pi} \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = \int_{u=0}^{u=\pi/2} \cos(u)\cdot 2\,du = 2\int_{0}^{\pi/2} \cos(u)\,du.

Passo 4

Conhecimento útil (mini-aula): a antiderivada de \cos(u) é \sin(u), porque a derivada de \sin(u) é \cos(u). Ou seja,
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Usamos isso para avaliar a integral definida.

Passo 5

Avaliação da integral:
2\int_{0}^{\pi/2} \cos(u)\,du = 2\big[\sin(u)\big]_{0}^{\pi/2} = 2\big(\sin(\tfrac{\pi}{2}) - \sin(0)\big).
Sabendo os valores trigonométricos básicos:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \sin(0)=0.

Passo 6

Substituindo os valores:
2\big(1-0\big)=2.
Verificação alternativa (útil na prova): uma antiderivada direta de \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) é 2\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right), pois usando a regra da cadeia
\frac{d}{dx}\left[2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\right] =2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=\cos\!\left(\frac{x}{2}\right),
logo ao avaliar 2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right) de 0 a \pi também dá 2.

Resposta

2

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