Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior).
O que se pede: calcular o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Primeiro conceito importante: a integral é linear. Isso significa que se tiver soma ou diferença de funções, pode integrar cada termo separadamente, e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Aplicando isso:
Isto facilita porque agora tratamos de duas integrais simples e conhecidas.
Passo 3
Segunda ideia fundamental: a regra da potência para primitivas (antiderivadas). Para um expoente
,
onde
é a constante de integração (não necessária para integrais definidas, mas útil para obter a primitiva). Também usamos a regra da constante:
.
Aplicando a regra aos dois termos:
- Para
(aqui ):
- Para
(aqui ):
Com a constante
no segundo termo,
.
Passo 4
Portanto uma primitiva (antiderivada) comum para
é
Sempre pode verificar derivando
, confirmando que está correta.
Passo 5
Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática): para uma primitiva
de
,
Aqui
,
e
. Então vamos calcular
e
e subtrair.
Passo 6
Calcular
:
Colocando em denominador comum
:
Calcular
:
Colocando em denominador comum
:
Agora a integral é