Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{-3}^{5}\left(y^{3}-4 y\right) d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-3}^{5}\left(y^{3}-4 y\right)\,dy.
Informações dadas:
  • A função integranda é \;y^{3}-4y\;.
  • Os limites de integração são a=-3 (limite inferior) e b=5 (limite superior).
    O que se pede: calcular o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Primeiro conceito importante: a integral é linear. Isso significa que se tiver soma ou diferença de funções, pode integrar cada termo separadamente, e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Aplicando isso:
\int_{-3}^{5}\left(y^{3}-4y\right)\,dy = \int_{-3}^{5}y^{3}\,dy \;-\; 4\int_{-3}^{5}y\,dy.
Isto facilita porque agora tratamos de duas integrais simples e conhecidas.

Passo 3

Segunda ideia fundamental: a regra da potência para primitivas (antiderivadas). Para um expoente n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração (não necessária para integrais definidas, mas útil para obter a primitiva). Também usamos a regra da constante: \int c\cdot f(y)\,dy = c\int f(y)\,dy.
Aplicando a regra aos dois termos:
  • Para y^{3} (aqui n=3):
\int y^{3}\,dy=\frac{y^{4}}{4}+C.
  • Para y (aqui n=1):
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C.
Com a constante -4 no segundo termo, -4\int y\,dy = -4\cdot\frac{y^{2}}{2} = -2y^{2}.

Passo 4

Portanto uma primitiva (antiderivada) comum para y^{3}-4y é
F(y)=\frac{y^{4}}{4}-2y^{2}.
Sempre pode verificar derivando F'(y)=y^{3}-4y, confirmando que está correta.

Passo 5

Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática): para uma primitiva F de f,
\int_{a}^{b} f(y)\,dy = F(b)-F(a).
Aqui a=-3, b=5 e F(y)=\dfrac{y^{4}}{4}-2y^{2}. Então vamos calcular F(5) e F(-3) e subtrair.

Passo 6

Calcular F(5):
F(5)=\frac{5^{4}}{4}-2\cdot 5^{2} =\frac{625}{4}-2\cdot 25 =\frac{625}{4}-50.
Colocando em denominador comum 4:
\frac{625}{4}-50=\frac{625}{4}-\frac{200}{4}=\frac{425}{4}.
Calcular F(-3):
F(-3)=\frac{(-3)^{4}}{4}-2\cdot(-3)^{2} =\frac{81}{4}-2\cdot 9 =\frac{81}{4}-18.
Colocando em denominador comum 4:
\frac{81}{4}-18=\frac{81}{4}-\frac{72}{4}=\frac{9}{4}.
Agora a integral é
\int_{-3}^{5}\left(y^{3}-4 y\right)\,dy = F(5)-F(-3)=\frac{425}{4}-\frac{9}{4}=\frac{416}{4}=104.

Resposta

104

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