Nos itens a seguir, determine um intervalo fechado contendo o valor da integral definida dada.
Passo 1
O enunciado pede: determinar um intervalo fechado que contenha o valor da integral
Informações dadas (todas em
):
Passo 2
Ideia que vamos usar (fórmula e intuição): se
é contínua em
e
e
são, respectivamente, o mínimo e o máximo de
em
, então vale a desigualdade
Por quê? Porque para todo
tem
. Integrando essas desigualdades em
de
até
dá exatamente a desigualdade acima. Aqui
e
são números reais;
é o comprimento do intervalo.
Passo 3
Verificar que podemos aplicar a desigualdade: o integrando
é contínuo em
porque o denominador
não se anula em
(temos
, nunca zero). Assim
atinge máximo e mínimo no intervalo fechado.
Para encontrar
e
é conveniente estudar monotonicidade. Calculemos a derivada:
Como
para todo
, segue que
em
. Logo
é estritamente decrescente em
.
Passo 4
Se
é decrescente em
, o máximo ocorre em
e o mínimo em
. Calculemos esses valores:
Portanto
e
.
Passo 5
Aplicando a desigualdade com
,
e
, obtemos
ou seja
Assim um intervalo fechado que contém o valor da integral é
.
Passo 6
(se quiser uma confirmação e um intervalo mais apertado, aqui vai um cálculo exato da integral) Fazer divisão algébrica:
Uma primitiva é
Avalie entre
e
:
Como
, numericamente
, que está dentro de
, confirmando a validade do intervalo obtido.