Nos itens a seguir, determine um intervalo fechado contendo o valor da integral definida dada.
\int_{-1}^{2} \frac{x+5}{x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede: determinar um intervalo fechado que contenha o valor da integral
\int_{-1}^{2}\frac{x+5}{x-3}\,dx.
Informações dadas (todas em [-1,2]):
\text{integrando } f(x)=\frac{x+5}{x-3},\qquad a=-1,\qquad b=2.

Passo 2

Ideia que vamos usar (fórmula e intuição): se f é contínua em [a,b] e m e M são, respectivamente, o mínimo e o máximo de f em [a,b], então vale a desigualdade
m(b-a)\le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a).
Por quê? Porque para todo x\in[a,b] tem m\le f(x)\le M. Integrando essas desigualdades em x de a até b dá exatamente a desigualdade acima. Aqui m e M são números reais; b-a é o comprimento do intervalo.

Passo 3

Verificar que podemos aplicar a desigualdade: o integrando f(x)=\dfrac{x+5}{x-3} é contínuo em [a,b]=[-1,2] porque o denominador x-3 não se anula em [-1,2] (temos x-3\in[-4,-1], nunca zero). Assim f atinge máximo e mínimo no intervalo fechado.
Para encontrar m e M é conveniente estudar monotonicidade. Calculemos a derivada:
f'(x)=\frac{(1)(x-3)-(x+5)(1)}{(x-3)^2}=\frac{x-3-x-5}{(x-3)^2}=\frac{-8}{(x-3)^2}.
Como (x-3)^2>0 para todo x\neq3, segue que f'(x)=-\dfrac{8}{(x-3)^2}<0 em [-1,2]. Logo f é estritamente decrescente em [-1,2].

Passo 4

Se f é decrescente em [-1,2], o máximo ocorre em x=a=-1 e o mínimo em x=b=2. Calculemos esses valores:
f(-1)=\frac{-1+5}{-1-3}=\frac{4}{-4}=-1,
f(2)=\frac{2+5}{2-3}=\frac{7}{-1}=-7.
Portanto M=-1 e m=-7.

Passo 5

Aplicando a desigualdade com m=-7, M=-1 e b-a=2-(-1)=3, obtemos
-7\cdot 3 \le \int_{-1}^{2}\frac{x+5}{x-3}\,dx \le -1\cdot 3,
ou seja
-21 \le \int_{-1}^{2}\frac{x+5}{x-3}\,dx \le -3.
Assim um intervalo fechado que contém o valor da integral é [-21,-3].

Passo 6

(se quiser uma confirmação e um intervalo mais apertado, aqui vai um cálculo exato da integral) Fazer divisão algébrica:
\frac{x+5}{x-3}=1+\frac{8}{x-3}.
Uma primitiva é
F(x)=x+8\ln|x-3|.
Avalie entre -1 e 2:
\int_{-1}^{2}\frac{x+5}{x-3}\,dx = \bigl[x+8\ln|x-3|\bigr]_{-1}^{2} = \bigl(2+8\ln|{-1}|\bigr)-\bigl(-1+8\ln|{-4}|\bigr) =3-8\ln 4.
Como \ln 4\approx1{,}386, numericamente 3-8\ln4\approx-8{,}09, que está dentro de [-21,-3], confirmando a validade do intervalo obtido.

Resposta

[-21,-3]

Exercícios relacionados