Nos itens a seguir, determine um intervalo fechado contendo o valor da integral definida dada.
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(4 \cos ^{3} x-9 \cos x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede: determinar um intervalo fechado que contenha o valor da integral definida
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(4\cos^{3}x-9\cos x\right)\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é \;4\cos^{3}x-9\cos x\;.
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de zero: \;[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\;.
  • Não há imagens ou dados adicionais.

Passo 2

Uma ideia útil antes de integrar é simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica conhecida. Lembra da identidade do cosseno do triplo ângulo?
\cos 3x = 4\cos^{3}x - 3\cos x.
A partir daí podemos reescrever 4\cos^{3}x isolando-o:
4\cos^{3}x = \cos 3x + 3\cos x.
Substituindo isso no integrando:
4\cos^{3}x - 9\cos x = (\cos 3x + 3\cos x) - 9\cos x = \cos 3x - 6\cos x.
Então a integral fica
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(4\cos^{3}x-9\cos x\right)\,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos 3x - 6\cos x\right)\,dx.

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Use a regra básica:
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)\quad\text{(para constante \(k\))},
e em particular \int \cos x\,dx=\sin x.
Portanto,
\int\left(\cos 3x - 6\cos x\right)\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x - 6\sin x + C.
Vamos avaliar a primitiva nos limites -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}:
\left[\frac{1}{3}\sin 3x - 6\sin x\right]_{x=-\frac{\pi}{2}}^{x=\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{1}{3}\sin\!\big(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\big)-6\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)\right) - \left(\frac{1}{3}\sin\!\big(3\cdot(-\tfrac{\pi}{2})\big)-6\sin\!\big(-\tfrac{\pi}{2}\big)\right).

Passo 4

Calculemos as funções seno:
  • \sin\!\big(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\big)=\sin\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=-1.
  • \sin\!\big(3\cdot(-\tfrac{\pi}{2})\big)=\sin\!\big(-\tfrac{3\pi}{2}\big)=1 (pois \sin é ímpar e \sin\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=-1).
  • \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1.
  • \sin\!\big(-\tfrac{\pi}{2}\big)=-1.
Substituindo:
\begin{aligned} \text{Valor} &= \left(\frac{1}{3}\cdot(-1)-6\cdot 1\right) - \left(\frac{1}{3}\cdot 1 - 6\cdot(-1)\right)\\[4pt] &= \left(-\frac{1}{3}-6\right) - \left(\frac{1}{3}+6\right)\\[4pt] &= -\frac{1}{3}-6-\frac{1}{3}-6\\[4pt] &= -\frac{2}{3}-12\\[4pt] &= -12-\frac{2}{3}. \end{aligned}]

Passo 5

Escrevendo em forma de fração única:
-12-\frac{2}{3} = -\frac{36}{3}-\frac{2}{3} = -\frac{38}{3}.
Assim a integral tem valor exato \;-\dfrac{38}{3}\;, que em forma decimal é aproximadamente -12{,}666\ldots.

Passo 6

O enunciado pede um intervalo fechado que contenha esse valor. Uma escolha simples e clara é o intervalo com extremidades inteiras que “abraçam” o valor decimal. Por exemplo:
\left[-13,\,-12\right]
Verificação rápida em forma fracionária:
-13 = -\frac{39}{3} \le -\frac{38}{3} \le -\frac{36}{3} = -12,
logo -\dfrac{38}{3} está dentro de \left[-13,-12\right].

Resposta

\left[-13,-12\right]

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