Nos itens a seguir, determine um intervalo fechado contendo o valor da integral definida dada.
Passo 1
O enunciado pede: determinar um intervalo fechado que contenha o valor da integral definida
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é simétrico em torno de zero:
. - Não há imagens ou dados adicionais.
Passo 2
Uma ideia útil antes de integrar é simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica conhecida. Lembra da identidade do cosseno do triplo ângulo?
A partir daí podemos reescrever
isolando-o:
Substituindo isso no integrando:
Então a integral fica
Passo 3
Agora integramos termo a termo. Use a regra básica:
e em particular
.
Portanto,
Portanto,
Vamos avaliar a primitiva nos limites
e
:
Passo 4
Calculemos as funções seno:
-
. -
(pois é ímpar e ). -
. -
.
Substituindo:
Passo 5
Escrevendo em forma de fração única:
Assim a integral tem valor exato
, que em forma decimal é aproximadamente
.
Passo 6
O enunciado pede um intervalo fechado que contenha esse valor. Uma escolha simples e clara é o intervalo com extremidades inteiras que “abraçam” o valor decimal. Por exemplo:
Verificação rápida em forma fracionária:
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.