Nos itens a seguir, calcule a integral definida usando os seguintes resultados:
\int_{-1}^{2} x^{2} d x=3 ; \quad \int_{-1}^{2} x d x=\frac{3}{2} ; \quad \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x d x=2 \quad \int_{0}^{\pi} \cos x d x=0 ;
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2} x d x=\frac{\pi}{2}.
\int_{-1}^{2}\left(8-x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado nos dá alguns valores de integrais definidas (peguei estes valores do enunciado):
\int_{-1}^{2} x^{2}\,dx = 3,\qquad \int_{-1}^{2} x\,dx = \tfrac{3}{2},
\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx = 2,\qquad \int_{0}^{\pi} \cos x\,dx = 0,\qquad \int_{0}^{\pi} \sin^{2}x\,dx = \tfrac{\pi}{2}.
A pergunta pede para calcular a integral
\int_{-1}^{2}\left(8 - x^{2}\right)\,dx.

Passo 2

Vou recordar duas propriedades básicas de integrais definidas (essas são fundamentais e fáceis de aplicar na prova):
  1. Linearidade: para funções f e g e constantes a,b,
\int_{c}^{d}\big(a f(x) + b g(x)\big)\,dx = a\int_{c}^{d} f(x)\,dx + b\int_{c}^{d} g(x)\,dx.
Aqui c e d são os limites de integração, e a,b são números constantes.
  1. Integral de constante: se k é constante,
\int_{c}^{d} k\,dx = k\,(d-c).
Isto significa que integrar uma constante é multiplicar essa constante pelo comprimento do intervalo de integração (d-c).

Passo 3

Usando a linearidade (Propriedade 1) posso separar a integral pedida em duas integrais mais simples:
\int_{-1}^{2}\left(8 - x^{2}\right)\,dx = \int_{-1}^{2} 8\,dx - \int_{-1}^{2} x^{2}\,dx.

Passo 4

Calculo a primeira integral usando a propriedade da integral de constante (Propriedade 2). Aqui k=8, c=-1 e d=2, então
\int_{-1}^{2}8\,dx = 8\,(2 - (-1)).
Agora faço as contas passo a passo:
2 - (-1) = 2 + 1 = 3,
portanto
\int_{-1}^{2}8\,dx = 8 \cdot 3 = 24.

Passo 5

A segunda integral aparece já fornecida pelo enunciado: \int_{-1}^{2} x^{2}\,dx = 3. Substituindo na decomposição do Passo 3:
\int_{-1}^{2}\left(8 - x^{2}\right)\,dx = 24 - 3 = 21.

Resposta

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