Nos itens a seguir, calcule a integral definida usando os seguintes resultados:
\int_{-1}^{2} x^{2} d x=3 ; \quad \int_{-1}^{2} x d x=\frac{3}{2} ; \quad \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x d x=2 \quad \int_{0}^{\pi} \cos x d x=0 ;
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2} x d x=\frac{\pi}{2}.
\int_{-1}^{2}\left(2-5 x+\frac{1}{2} x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\left(2-5x+\tfrac{1}{2}x^{2}\right)dx.
As informações fornecidas que vou usar (peguei estes valores do enunciado) são:
\int_{-1}^{2} x^{2} dx = 3,\qquad \int_{-1}^{2} x\, dx = \tfrac{3}{2}.
Além disso, recordo que posso usar propriedades básicas de integrais (linearidade e fator constante) para decompor a integral.

Passo 2

Relembrando as regras que usarei (explicação didática):
  • Linearidade da integral: para funções f,g integráveis e constantes a,b,
\int_{a}^{b}\big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{a}^{b} g(x)\,dx.
  • Fator constante: para constante c,
\int_{a}^{b} c\cdot f(x)\,dx = c\cdot\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • Integral de função constante 1: \displaystyle \int_{a}^{b} 1\,dx = b-a. Então, por exemplo, \displaystyle \int_{-1}^{2} 2\,dx = 2\cdot\int_{-1}^{2}1\,dx = 2\cdot(2-(-1)).
Vou aplicar essas propriedades para separar a integral original em partes mais simples.

Passo 3

Separando a integral pelo uso da linearidade:
\int_{-1}^{2}\left(2-5x+\tfrac{1}{2}x^{2}\right)dx = \int_{-1}^{2}2\,dx \;-\; 5\int_{-1}^{2}x\,dx \;+\; \tfrac{1}{2}\int_{-1}^{2}x^{2}\,dx.
Agora calculo cada termo usando as propriedades e os valores dados.

Passo 4

Cálculo dos termos:
  • Para o termo constante:
\int_{-1}^{2}2\,dx = 2\cdot\int_{-1}^{2}1\,dx = 2\cdot(2-(-1)) = 2\cdot 3 = 6.
  • Para o termo com x (usei o valor fornecido \int_{-1}^{2} x\,dx = \tfrac{3}{2}):
-5\int_{-1}^{2}x\,dx = -5\cdot \tfrac{3}{2} = -\tfrac{15}{2}.
  • Para o termo com x^{2} (usei o valor fornecido \int_{-1}^{2} x^{2}\,dx = 3):
\tfrac{1}{2}\int_{-1}^{2}x^{2}\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot 3 = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Somando os três resultados:
6 \;-\; \tfrac{15}{2} \;+\; \tfrac{3}{2} = 6 \;+\; \left(-\tfrac{15}{2}+\tfrac{3}{2}\right) = 6 \;-\; \tfrac{12}{2} = 6 \;-\; 6 = 0.

Resposta

0

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