Nos itens a seguir, calcule a integral definida usando os seguintes resultados:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações importantes (fornecidas pelo enunciado e que vou usar):
-
. -
.
Não foi necessário usar as integrais emque o enunciado também listou; aqui só aparecem integrais no intervalo .
Passo 2
Primeira operação conceitual: lidar com os limites invertidos. Lembrar da propriedade básica de integrais definidas:
Aplicando isso ao nosso caso,
Ou seja, basta calcular
e depois trocar o sinal.
Passo 3
Expandir o quadrado dentro da integral. Isso facilita porque a integral de uma soma é a soma das integrais (linearidade):
Explicando:
. Aqui
e
, então
e
.
Passo 4
Usar linearidade da integral e fator constante para separar:
Regras usadas:
-
. -
para constante .
Passo 5
Substituir as integrais conhecidas e calcular a integral da constante:
- Já foi dado que
. - Já foi dado que
. - Para
, a integral de uma constante em é . Logo
Portanto
Passo 6
Fazer a álgebra para simplificar:
Esse é o valor de
.
Passo 7
Lembrar do passo 2: a integral original tem limites invertidos, então devemos trocar o sinal. Assim