Nos itens a seguir, calcule a integral definida usando os seguintes resultados:
\int_{-1}^{2} x^{2} d x=3 ; \quad \int_{-1}^{2} x d x=\frac{3}{2} ; \quad \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x d x=2 \quad \int_{0}^{\pi} \cos x d x=0 ;
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2} x d x=\frac{\pi}{2}.
\int_{\pi}^{0}(\operatorname{sen} x-2)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi}^{0}(\sin x - 2)^{2}\,dx.
Informações importantes (fornecidas pelo enunciado e que vou usar):
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx = 2.
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx = \frac{\pi}{2}.
    Não foi necessário usar as integrais em [-1,2] que o enunciado também listou; aqui só aparecem integrais no intervalo [0,\pi].

Passo 2

Primeira operação conceitual: lidar com os limites invertidos. Lembrar da propriedade básica de integrais definidas:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx.
Aplicando isso ao nosso caso,
\int_{\pi}^{0}(\sin x - 2)^{2}\,dx = -\int_{0}^{\pi}(\sin x - 2)^{2}\,dx.
Ou seja, basta calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}(\sin x - 2)^{2}\,dx e depois trocar o sinal.

Passo 3

Expandir o quadrado dentro da integral. Isso facilita porque a integral de uma soma é a soma das integrais (linearidade):
(\sin x - 2)^{2} = \sin^{2}x - 4\sin x + 4.
Explicando: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. Aqui a=\sin x e b=2, então -2ab=-4\sin x e b^2=4.

Passo 4

Usar linearidade da integral e fator constante para separar:
\int_{0}^{\pi}(\sin^{2}x - 4\sin x + 4)\,dx = \int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx - 4\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx + \int_{0}^{\pi}4\,dx.
Regras usadas:
  • \displaystyle \int (f+g) = \int f + \int g.
  • \displaystyle \int c\cdot f = c\int f para constante c.

Passo 5

Substituir as integrais conhecidas e calcular a integral da constante:
  • Já foi dado que \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx = \frac{\pi}{2}.
  • Já foi dado que \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx = 2.
  • Para \displaystyle \int_{0}^{\pi}4\,dx, a integral de uma constante c em [0,\pi] é c\cdot(\pi-0)=c\pi. Logo
\int_{0}^{\pi}4\,dx = 4\pi.
Portanto
\int_{0}^{\pi}(\sin^{2}x - 4\sin x + 4)\,dx = \frac{\pi}{2} - 4\cdot 2 + 4\pi.

Passo 6

Fazer a álgebra para simplificar:
\frac{\pi}{2} - 8 + 4\pi = \left(\frac{1}{2}\pi + 4\pi\right) - 8 = \frac{9}{2}\pi - 8.
Esse é o valor de \displaystyle \int_{0}^{\pi}(\sin x - 2)^{2}\,dx.

Passo 7

Lembrar do passo 2: a integral original tem limites invertidos, então devemos trocar o sinal. Assim
\int_{\pi}^{0}(\sin x - 2)^{2}\,dx = -\left(\frac{9}{2}\pi - 8\right) = 8 - \frac{9\pi}{2}.

Resposta

8 - \dfrac{9\pi}{2}

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