Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede calcular a inversa da transformada de Laplace da função
Informações relevantes dadas:
- A variável transformada é
. - Deve ser encontrada a função
para . - Observação útil (retirada do próprio enunciado): o polinômio do denominador pode ser completado ao quadrado, porque
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico para simplificar a expressão: fazer a substituição
(com isso completamos o quadrado mencionado no Passo 1). Substituindo,
Aqui foi usada apenas a identidade
. Note que a forma
é exatamente a forma de uma função
que depende de
. Em seguida vamos relacionar isso com a propriedade de deslocamento em
na transformada de Laplace.
Passo 3
Lembrar e explicar a propriedade de deslocamento: se
tem transformada
então, para qualquer constante
,
Nessas fórmulas:
-
é a função no tempo; -
é sua transformada em ; -
é uma constante real (aqui ); - a propriedade diz que deslocar
para corresponde a multiplicar a função no tempo por .
No nosso caso podemos identificar
. De fato, tomando
obtemos
Portanto
e, pela propriedade acima, a inversa procurada satisfaz
onde
.
Passo 4
Agora precisamos achar
.
Usamos outra propriedade útil: para qualquer função com transformada
,
Usamos outra propriedade útil: para qualquer função
Aqui as variáveis/significados:
-
é uma função no tempo; -
é sua transformada; - a fórmula diz que multiplicar por
no domínio do tempo equivale a diferenciar com sinal negativo no domínio de .
Escolhemos
porque sabemos que
Aplicando a propriedade do
multiplicando,
Calculemos a derivada:
Portanto
Desse resultado segue imediatamente que
Logo
Passo 5
Voltando ao deslocamento (Passo 3): como
e
, a inversa
é
Podemos fazer uma verificação rápida mental: aplicar a transformada de Laplace em
usando a propriedade de deslocamento e a transformada de
retorna a expressão original
, então a resposta está consistente.