Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{\left(s^{2}+2 s+2\right)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a inversa da transformada de Laplace da função
F(s)=\frac{s+1}{\left(s^{2}+2 s+2\right)^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável transformada é s.
  • Deve ser encontrada a função f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} para t\ge 0.
  • Observação útil (retirada do próprio enunciado): o polinômio do denominador pode ser completado ao quadrado, porque s^{2}+2s+2=(s+1)^2+1.

Passo 2

Primeiro passo algébrico para simplificar a expressão: fazer a substituição u=s+1 (com isso completamos o quadrado mencionado no Passo 1). Substituindo,
F(s)=\frac{s+1}{\big((s+1)^2+1\big)^{2}}=\frac{u}{(u^{2}+1)^{2}}.
Aqui foi usada apenas a identidade u=s+1. Note que a forma \dfrac{u}{(u^{2}+1)^{2}} é exatamente a forma de uma função G(u) que depende de u. Em seguida vamos relacionar isso com a propriedade de deslocamento em s na transformada de Laplace.

Passo 3

Lembrar e explicar a propriedade de deslocamento: se g(t) tem transformada
G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\},
então, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{-a t} g(t)\}=G(s+a).
Nessas fórmulas:
  • g(t) é a função no tempo;
  • G(s) é sua transformada em s;
  • a é uma constante real (aqui a=1);
  • a propriedade diz que deslocar s para s+a corresponde a multiplicar a função no tempo por e^{-a t}.
No nosso caso podemos identificar G(s)=\dfrac{s}{(s^{2}+1)^{2}}. De fato, tomando G(s)=\dfrac{s}{(s^{2}+1)^{2}} obtemos
G(s+1)=\frac{s+1}{\big((s+1)^2+1\big)^{2}}=F(s).
Portanto F(s)=G(s+1) e, pela propriedade acima, a inversa procurada satisfaz
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=e^{-t}\,g(t),
onde g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.

Passo 4

Agora precisamos achar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{(s^{2}+1)^{2}}\right\}.
Usamos outra propriedade útil: para qualquer função f(t) com transformada F(s),
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}=-\frac{d}{ds}F(s).
Aqui as variáveis/significados:
  • f(t) é uma função no tempo;
  • F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} é sua transformada;
  • a fórmula diz que multiplicar por t no domínio do tempo equivale a diferenciar com sinal negativo no domínio de s.
Escolhemos f(t)=\sin t porque sabemos que
\mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}.
Aplicando a propriedade do t multiplicando,
\mathcal{L}\{t\sin t\}=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right).
Calculemos a derivada:
\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)=-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t\sin t\}=-\left(-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}\right)=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Desse resultado segue imediatamente que
\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{t\sin t\}.
Logo
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}\right\}=\frac{1}{2}\,t\sin t.

Passo 5

Voltando ao deslocamento (Passo 3): como F(s)=G(s+1) e g(t)=\dfrac{1}{2}t\sin t, a inversa f(t) é
f(t)=e^{-t}\,g(t)=e^{-t}\cdot\frac{1}{2}t\sin t=\frac{1}{2}\,t\,e^{-t}\sin t.
Podemos fazer uma verificação rápida mental: aplicar a transformada de Laplace em \dfrac{1}{2}t e^{-t}\sin t usando a propriedade de deslocamento e a transformada de t\sin t retorna a expressão original F(s), então a resposta está consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\,t\,e^{-t}\sin t

Exercícios relacionados