Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional em
:
Informações dadas e objetivo:
- A função a inverter é
. - Queremos encontrar
tal que , para .
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão escrevendo tudo em potências de
. Faço a mudança
. Então
. Substituindo:
Passo 3
Agora divido termo a termo por
:
Voltando à notação em
,
Passo 4
Lembrete importante (fórmula que vou usar): para inteiro
e constante
,
Explicando: aqui
é a variável do domínio temporal,
é o deslocamento exponencial (polo em
) e
é o fatorial de
. Essa fórmula vem da transformada de Laplace de potências de
multiplicadas por um decaimento exponencial.
Passo 5
Aplico a fórmula termo a termo, usando
:
- Para
(aqui ):
- Para
(aqui ):
- Para
(aqui ):
Passo 6
Usando linearidade (a inversa da soma é a soma das inversas e constantes saem na frente), o inverso da expressão original é
Simplificando os coeficientes: