Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional em s:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}\right\}.
Informações dadas e objetivo:
  • A função a inverter é \dfrac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}.
  • Queremos encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}, para t\ge0.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão escrevendo tudo em potências de (s+2). Faço a mudança u=s+2. Então (s+1)=u-1. Substituindo:
\frac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}=\frac{(u-1)^{2}}{u^{4}}=\frac{u^{2}-2u+1}{u^{4}}.

Passo 3

Agora divido termo a termo por u^{4}:
\frac{u^{2}-2u+1}{u^{4}}=u^{-2}-2u^{-3}+u^{-4}.
Voltando à notação em s,
\frac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}=\frac{1}{(s+2)^{2}}-\frac{2}{(s+2)^{3}}+\frac{1}{(s+2)^{4}}.

Passo 4

Lembrete importante (fórmula que vou usar): para inteiro n\ge1 e constante a,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^{n}}\right\}=\frac{t^{\,n-1}e^{-a t}}{(n-1)!}.
Explicando: aqui t é a variável do domínio temporal, a é o deslocamento exponencial (polo em -a) e (n-1)! é o fatorial de n-1. Essa fórmula vem da transformada de Laplace de potências de t multiplicadas por um decaimento exponencial.

Passo 5

Aplico a fórmula termo a termo, usando a=2:
  • Para \dfrac{1}{(s+2)^{2}} (aqui n=2):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{2}}\right\}=\frac{t^{1}e^{-2t}}{1!}=t e^{-2t}.
  • Para \dfrac{1}{(s+2)^{3}} (aqui n=3):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\}=\frac{t^{2}e^{-2t}}{2!}=\frac{t^{2}e^{-2t}}{2}.
  • Para \dfrac{1}{(s+2)^{4}} (aqui n=4):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{4}}\right\}=\frac{t^{3}e^{-2t}}{3!}=\frac{t^{3}e^{-2t}}{6}.

Passo 6

Usando linearidade (a inversa da soma é a soma das inversas e constantes saem na frente), o inverso da expressão original é
f(t)=t e^{-2t}-2\cdot\frac{t^{2}e^{-2t}}{2}+\frac{t^{3}e^{-2t}}{6}.
Simplificando os coeficientes:
f(t)=e^{-2t}\!\left(t - t^{2} + \frac{t^{3}}{6}\right).

Resposta

\displaystyle e^{-2t}\left(t - t^{2} + \frac{t^{3}}{6}\right)

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