Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{-t} \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 .\end{array}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Isto transforma uma função de t (no domínio temporal) em uma função de s (domínio complexo), e nos permite transformar derivadas em polinômios em s, o que facilita a solução de EDOs lineares com condições iniciais.
Propriedades úteis (explicadas):
Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a \mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
Transformada de derivadas (estas são cruciais para EDOs com condições iniciais):\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^2 Y(s)-s y(0)-y'(0),
onde \(Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s)\). Aqui cada termo tem significado: \(sY(s)\) vem da diferenciação dentro da integral e os termos subtraídos são as condições iniciais que aparecem naturalmente.
Transformada de uma função exponencial simples:\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}\quad(\text{para } \Re(s)>a).Em particular \mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\dfrac{1}{s+1}.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados da equação diferencial e usar as fórmulas das derivadas.
Começando de
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y = e^{-t},
aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados e usando linearidade,