Nos itens a seguir, derive a função dada e simplifique o resultado.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função dada:
. - Pede-se: derivar
e simplificar o resultado. - Informação útil sobre domínio (vinda do próprio enunciado): como há
, é necessário que . Como a quinta potência preserva o sinal, isso equivale a , isto é . Essa condição garante que as manipulações com logaritmo abaixo são válidas.
Passo 2
Escolha de método e por quê (breve):
- Há duas maneiras naturais: aplicar a regra da cadeia direto no formato
ou usar a propriedade dos logaritmos para simplificar antes de derivar. Vou usar a propriedade do logaritmo porque deixa a expressão mais simples antes de derivar, reduzindo risco de erro e deixando a conta curta — ótimo para prova. A propriedade é válida porque, conforme observado, no domínio considerado.
Passo 3
Aplicar a propriedade do logaritmo para reescrever
:
Aqui foi usada a identidade
, com
.
Passo 4
Lembrete das regras de derivação que vamos usar (aulas rápidas):
- Regra do logaritmo composta (cadeia): se
então
Isto é um caso da regra da cadeia: se
então
. No caso
temos
.
- Derivada de uma constante multiplicando uma função: se
então . - Derivada de uma função linear: se
então .
Passo 5
Aplicar a derivada à expressão simplificada
.
- Identificamos
. Então (pois a derivada de é e de é ). - Usando a regra do logaritmo composta:
- Multiplicando pelo
(constante multiplicativa):
Passo 6
Simplificar a fração final:
Podemos reescrever
trocando sinal no denominador:
Ambas são equivalentes; a forma
fica mais curta e clara.
Passo 7
Observação sobre domínio da derivada:
- A expressão final
está bem definida para . Porém, a função original só existe para ; portanto a derivada acima é válida no domínio de interesse .