Nos itens a seguir, derive a função dada e simplifique o resultado.
f(x)=\ln (8-2 x)^{5}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função dada: f(x)=\ln (8-2 x)^{5}.
  • Pede-se: derivar f(x) e simplificar o resultado.
  • Informação útil sobre domínio (vinda do próprio enunciado): como há \ln(\cdot), é necessário que (8-2x)^{5}>0. Como a quinta potência preserva o sinal, isso equivale a 8-2x>0, isto é x<4. Essa condição garante que as manipulações com logaritmo abaixo são válidas.

Passo 2

Escolha de método e por quê (breve):
  • Há duas maneiras naturais: aplicar a regra da cadeia direto no formato \ln\big((8-2x)^5\big) ou usar a propriedade dos logaritmos \ln(a^{5})=5\ln(a) para simplificar antes de derivar. Vou usar a propriedade do logaritmo porque deixa a expressão mais simples antes de derivar, reduzindo risco de erro e deixando a conta curta — ótimo para prova. A propriedade é válida porque, conforme observado, 8-2x>0 no domínio considerado.

Passo 3

Aplicar a propriedade do logaritmo para reescrever f:
f(x)=\ln(8-2x)^{5}=5\ln(8-2x).
Aqui foi usada a identidade \ln(u^{5})=5\ln(u), com u=8-2x.

Passo 4

Lembrete das regras de derivação que vamos usar (aulas rápidas):
  • Regra do logaritmo composta (cadeia): se g(x)=\ln(u(x)) então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto é um caso da regra da cadeia: se h(x)=G(u(x)) então h'(x)=G'(u(x))\cdot u'(x). No caso G(t)=\ln t temos G'(t)=1/t.
  • Derivada de uma constante multiplicando uma função: se h(x)=c\cdot k(x) então h'(x)=c\cdot k'(x).
  • Derivada de uma função linear: se u(x)=a x + b então u'(x)=a.

Passo 5

Aplicar a derivada à expressão simplificada f(x)=5\ln(8-2x).
  • Identificamos u(x)=8-2x. Então u'(x)=-2 (pois a derivada de 8 é 0 e de -2x é -2).
  • Usando a regra do logaritmo composta:
\frac{d}{dx}\big(\ln(8-2x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-2}{8-2x}.
  • Multiplicando pelo 5 (constante multiplicativa):
f'(x)=5\cdot\frac{-2}{8-2x}=\frac{-10}{8-2x}.

Passo 6

Simplificar a fração final:
\frac{-10}{8-2x}=\frac{-10}{2(4-x)}=\frac{-10}{2}\cdot\frac{1}{4-x}=-5\cdot\frac{1}{4-x}=\frac{-5}{4-x}.
Podemos reescrever \dfrac{-5}{4-x} trocando sinal no denominador:
\frac{-5}{4-x}=\frac{5}{x-4}.
Ambas são equivalentes; a forma \dfrac{5}{x-4} fica mais curta e clara.

Passo 7

Observação sobre domínio da derivada:
  • A expressão final \dfrac{5}{x-4} está bem definida para x\neq4. Porém, a função original só existe para x<4; portanto a derivada acima é válida no domínio de interesse x<4.

Resposta

\dfrac{5}{x-4}

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